A velocidade específica da reação do 2,4 -dinitroclorobenzeno com piperidina foi determinada por Bunnett e Crockford [J. Chem. Ed. 33, 552 (1956)], e vale 1,11 \mathrm{~L} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{min}^{-1} a 25^{\circ} \mathrm{C} e 0,200 \mathrm{~L} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~min}^{-1} a 0^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a energia de ativação da reação.

Passo 1

O enunciado dá duas velocidades específicas de uma reação nucleofílica de substituição aromática do 2,4-dinitroclorobenzeno com piperidina, medidas a duas temperaturas diferentes. Queremos calcular a energia de ativação E_a usando a equação de Arrhenius, que relaciona a constante de velocidade k com a temperatura T:
k = A \exp\!\bigl(-\tfrac{E_a}{R\,T}\bigr)
Para isso, vamos usar a forma de razão entre duas velocidades a duas temperaturas e a constante dos gases R. Precisamos converter as temperaturas para Kelvin e aplicar
\ln\frac{k_2}{k_1} = -\frac{E_a}{R}\Bigl(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\Bigr).

Passo 2

Primeiro, identificamos e convertamos os dados:
k_1 = 0,200~\mathrm{L\,mol^{-1}\,min^{-1}},\quad T_1 = 0^\circ\mathrm{C} = 273{,}15~\mathrm{K},
k_2 = 1,11~\mathrm{L\,mol^{-1}\,min^{-1}},\quad T_2 = 25^\circ\mathrm{C} = 298{,}15~\mathrm{K},
e a constante dos gases
R = 8{,}314~\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Passo 3

Usando a relação
\ln\frac{k_2}{k_1} = -\frac{E_a}{R}\Bigl(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\Bigr),
temos
\ln\frac{1,11}{0,200} \;=\; -\frac{E_a}{8{,}314}\Bigl(\tfrac{1}{298{,}15}-\tfrac{1}{273{,}15}\Bigr).
Calculando o lado esquerdo:
\ln\bigl(5,55\bigr)\approx1,712,
e o fator de temperatura:
\tfrac{1}{298{,}15}-\tfrac{1}{273{,}15} =\frac{273{,}15-298{,}15}{273{,}15\cdot298{,}15} \approx -3,069\times10^{-4}~\mathrm{K^{-1}}.
Logo,
1,712 = -\frac{E_a}{8{,}314}\bigl(-3,069\times10^{-4}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad E_a = \frac{1,712\times8{,}314}{3,069\times10^{-4}} \approx4,65\times10^{4}~\mathrm{J\,mol^{-1}}.

Resposta

A energia de ativação da reação é aproximadamente
E_a \approx 4,65\times10^{4}~\mathrm{J\,mol^{-1}}\quad(\text{ou }46,5~\mathrm{kJ\,mol^{-1}}).

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