Uma enzima michaeliana é utilizada em um processo operando em modo batelada. Os parâmetros cinéticos desta enzima são:
, Vmax
. Considere também que a reação global é do tipo
. Assuma que não há desativação e nem inibição enzimática.
Para
, obter o perfil da concentração de substrato e da conversão em função do tempo. Calcular a produtividade de formação de produto para
de conversão.
Para
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem uma enzima que segue cinética de Michaelis–Menten num batelada. Os dados são:
• Km = 10 mmol/L
• Vmax = 50 mmol/(L·h) (vamos supor horas, mas pode ser qualquer unidade de tempo)
• S₀ = 1 mol/L = 1000 mmol/L
Queremos:
a) Perfil de concentração de substrato S(t) e conversão X(t) ao longo do tempo.
b) Para X = 90%, achar a produtividade de produto (isto é, quantidade de produto formada por unidade de tempo, por volume).
Matéria: reação enzimática em batelada e integração de equação diferencial. Vamos precisar saber separar variáveis e integrar.
• Km = 10 mmol/L
• Vmax = 50 mmol/(L·h) (vamos supor horas, mas pode ser qualquer unidade de tempo)
• S₀ = 1 mol/L = 1000 mmol/L
Queremos:
a) Perfil de concentração de substrato S(t) e conversão X(t) ao longo do tempo.
b) Para X = 90%, achar a produtividade de produto (isto é, quantidade de produto formada por unidade de tempo, por volume).
Matéria: reação enzimática em batelada e integração de equação diferencial. Vamos precisar saber separar variáveis e integrar.
Passo 2
Escrevendo a taxa de consumo de substrato pela Michealis–Menten na batelada:
Aqui S é a concentração de substrato em mmol/L e t no mesmo tempo de Vmax. Essa equação diferencial mostra como S muda no tempo.
Passo 3
Vamos separar variáveis e integrar.
- Passo de separação:
2) Expandindo o numerador:
Logo a integral fica:
Passo 4
Agora integramos termo a termo:
∫(Km/S) dS = Km ln(S) e ∫1 dS = S.
No tempo t:
∫(Km/S) dS = Km ln(S) e ∫1 dS = S.
No tempo t:
Substituindo os limites:
Reorganizando:
Essa é a relação implícita que dá S em função de t.
Passo 5
A conversão X é definida por
Então se quiser X direto, basta substituir S(t) na equação de t.
Passo 6
Para X = 90% → S(t₉₀)=0.1 S₀ = 100 mmol/L. Vamos achar t₉₀:
Calculando:
•
•
•
Logo
A quantidade de produto formado no batelada até 90% é
mmol/L.
A produtividade (vazia de batelada) é:
A produtividade (vazia de batelada) é:
Resposta
Perfil de substrato:
Perfil de conversão:
Produtividade a 90% de conversão: