Uma enzima michaeliana é utilizada em um processo operando em modo batelada. Os parâmetros cinéticos desta enzima são: Km=10 mmol / L, Vmax =50 mmol / L. Considere também que a reação global é do tipo S P. Assuma que não há desativação e nem inibição enzimática.
Para So=1 mol / L, obter o perfil da concentração de substrato e da conversão em função do tempo. Calcular a produtividade de formação de produto para 90% de conversão.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma enzima que segue cinética de Michaelis–Menten num batelada. Os dados são:
• Km = 10 mmol/L
• Vmax = 50 mmol/(L·h) (vamos supor horas, mas pode ser qualquer unidade de tempo)
• S₀ = 1 mol/L = 1000 mmol/L
Queremos:
a) Perfil de concentração de substrato S(t) e conversão X(t) ao longo do tempo.
b) Para X = 90%, achar a produtividade de produto (isto é, quantidade de produto formada por unidade de tempo, por volume).
Matéria: reação enzimática em batelada e integração de equação diferencial. Vamos precisar saber separar variáveis e integrar.

Passo 2

Escrevendo a taxa de consumo de substrato pela Michealis–Menten na batelada:
dSdt = -Vmax,SKm + S
Aqui S é a concentração de substrato em mmol/L e t no mesmo tempo de Vmax. Essa equação diferencial mostra como S muda no tempo.

Passo 3

Vamos separar variáveis e integrar.
  1. Passo de separação:
dSdt = -Vmax,SKm + SLongrightarrow Km+SS,dS = -Vmax,dt
2) Expandindo o numerador:
Km+SS = KmS + 1
Logo a integral fica:
integralS0^S(t)l(KmS + 1r),dS = -integral0^tVmax,dt

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
∫(Km/S) dS = Km ln(S) e ∫1 dS = S.
No tempo t:
l[Kmln S + Sr]S0^S(t) = -Vmax,t
Substituindo os limites:
KmlnS(t)S0 + l(S(t)-S0r) = -Vmax,t
Reorganizando:
t = KmVmaxlnS0S(t) + S0 - S(t)Vmax
Essa é a relação implícita que dá S em função de t.

Passo 5

A conversão X é definida por
X(t)=S0 - S(t)S0Longrightarrow S(t)=S0l(1-X(t)r)
Então se quiser X direto, basta substituir S(t) na equação de t.

Passo 6

Para X = 90% → S(t₉₀)=0.1 S₀ = 100 mmol/L. Vamos achar t₉₀:
t90 = 1050ln1000100 + 1000-10050
Calculando:
ln(1000/100)=ln(10)approx2,3026
10/50=0,2 0,2times2,3026approx0,4605
(1000-100)/50=900/50=18
Logo
t90approx0,4605+18=18,4605 (horas)
A quantidade de produto formado no batelada até 90% é P=0.9,S0=0.9times1000=900,mmol/L.
A produtividade (vazia de batelada) é:
Produtividade=Pt90=90018,4605approx48,76;mmol/(Lcdot h)

Resposta

Perfil de substrato:
t = KmVmaxlnS0S(t) + S0 - S(t)Vmax
Perfil de conversão:
X(t)=1-S(t)S0
Produtividade a 90% de conversão:
boxed48,8;mmol/(Lcdot h)

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