Uma enzima michaeliana é utilizada em um processo operando em modo batelada. Os parâmetros cinéticos desta enzima são: Km=10 mmol / L, Vmax =50 mmol / L. Considere também que a reação global é do tipo S P. Assuma que não há desativação e nem inibição enzimática.
Para So=0,1 mmol / L, obter o perfil da concentração de substrato e da conversão em função do tempo. Calcular a produtividade de formação de produto para 90% de conversão.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma reação Sto P numa batelada sob cinética michaeliana, sem inibição nem desativação.
Dados:
Km = 10 mmol/L
Vmax=50 mmol/(Lcdot t) (o “t” é a unidade de tempo)
S0=0,1 mmol/L
O que vamos usar:
  • Balanço material em batelada: dfracdSdt=-r
  • Lei de Michaelis–Menten: r = dfracVmax,SKm+S
  • Definição de conversão X=1-dfracSS0
  • Integração por separação de variáveis

Passo 2

Escrevendo a equação diferencial:
dSdt ;=;-,Vmax,SKm+S,
Separamos variáveis:
dt ;=;-,Km+SVmax,S;dS = -KmVmaxdSS;-;1Vmax,dS,

Passo 3

Agora integramos de t=0 (quando S=S0) até um tempo t (quando S=S(t)):
integral0^t dt = -1Vmaxgl[KmintegralS0^SdSS + integralS0^SdSgr]
Fica:
t = 1Vmaxl[KmlnS0S(t) ;+;(S0 - S(t))r]

Passo 4

Expressão do perfil:
  1. Concentração de substrato S(t) está implícita nessa equação acima.
  2. Conversão X(t)=1-dfracS(t)S0 satisfaz
Kmln11-X ;+;S0,X ;=;Vmax,t

Passo 5

Queremos o tempo para X=0,9 (90 % de conversão).
Basta substituir na equação:
t90 = 1Vmaxl[Kmln!l(tfrac11-0.9r)+S0cdot0.9r] = 150l[10ln(10)+0.1cdot0.9r]
Numericamente:
t90 approx 23.026+0.0950 approx 0.4623 (unidades de tempo)

Passo 6

Produtividade volumétrica na 90 % de conversão é a quantidade de produto formada por volume e por tempo médio:
Produtividade = P formadot90 = S0cdot Xt90 = 0.1cdot0.90.4623 approx 0.195 mmol/(Lcdot t)

Resposta

• Perfil implícito de S(t):
KmlnS0S(t) + (S0 - S(t)) = Vmax,t
• Perfil de conversão:
Kmln11-X + S0,X = Vmax,t
• Tempo para 90 % de conversão: t90approx0.4623, (unidades de tempo).
• Produtividade a 90 % de conversão: boxed0.195 mmol/(Lcdot t).

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