Para uma enzima que segue a cinética de Michaelis-Menten, qual é o valor de V_{\text {max }} se V_{0} for igual a 1 \mu{\mathrm{~mol} . \mathrm{min}^{-1}}{ }^{\text {a }} 1 / 10 K_{\mathrm{M}} ?

Passo 1

O enunciado pede o valor de V_{\max} para uma enzima que segue cinética de Michaelis–Menten, sabendo que a velocidade inicial é V_{0}=1\\ \mu\mathrm{mol\,min^{-1}} quando a concentração de substrato é [S]=\tfrac{1}{10}K_{M}. Dados relevantes:
  • V_{0}=1\\ \mu\mathrm{mol\,min^{-1}}.
  • [S]=\tfrac{1}{10}K_{M}.
  • A enzima segue a equação de Michaelis–Menten (informação implícita no enunciado).

Passo 2

Lembrando a equação de Michaelis–Menten e o que cada símbolo significa:
V_{0}=V_{\max}\,\frac{[S]}{K_{M}+[S]}
Aqui:
  • V_{0} é a velocidade inicial medida (unidades de taxa, ex.: \mu\mathrm{mol\,min^{-1}}).
  • V_{\max} é a velocidade máxima (quando a enzima está saturada de substrato).
  • [S] é a concentração de substrato.
  • K_{M} é a constante de Michaelis (concentração de substrato que dá metade de V_{\max}).
    A fração \dfrac{[S]}{K_{M}+[S]} é adimensional e indica a fração de V_{\max} observada àquela [S].

Passo 3

Substituímos [S]=\tfrac{1}{10}K_{M} na fórmula e simplificamos:
V_{0}=V_{\max}\,\frac{\tfrac{1}{10}K_{M}}{K_{M}+\tfrac{1}{10}K_{M}}
Calcule o denominador:
K_{M}+\tfrac{1}{10}K_{M}=\tfrac{11}{10}K_{M}.
Portanto a fração fica
\frac{\tfrac{1}{10}K_{M}}{\tfrac{11}{10}K_{M}}=\frac{1}{10}\cdot\frac{10}{11}=\frac{1}{11}.
Logo
V_{0}=V_{\max}\cdot\frac{1}{11}.

Passo 4

Agora isolamos V_{\max}. Da relação V_{0}=V_{\max}\cdot\tfrac{1}{11} segue
V_{\max}=11\;V_{0}.
Substituindo V_{0}=1\\ \mu\mathrm{mol\,min^{-1}} obtemos
V_{\max}=11\times 1\\ \mu\mathrm{mol\,min^{-1}}=11\\ \mu\mathrm{mol\,min^{-1}}.

Passo 5

Breve verificação e dica prática: como [S]=0{,}1K_{M} a velocidade é cerca de 0{,}0909 de V_{\max} (ou 1/11). Portanto multiplicar V_{0} por 11 é a forma direta de recuperar V_{\max}. Se na prova você vir outra fração de K_{M}, basta fazer o mesmo procedimento algébrico (substituir e simplificar a fração).

Resposta

V_{\max}=11\\ \mu\mathrm{mol\,min^{-1}}

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