(Epcar) Uma determinada caixa é transportada em um caminhão que percorre, com velocidade escalar constante, uma estrada plana e horizontal. Em um determinado instante, o caminhão entra em uma curva circular de raio igual a 51,2 \mathrm{~m}, mantendo a mesma velocidade escalar. Sabendo-se que os coeficientes de atrito cinético e estático entre a caixa e o assoalho horizontal são, respectivamente, 0,4 e 0,5 e considerando que as dimensões do caminhão, em relação ao raio da curva, são desprezíveis e que a caixa esteja apoiada apenas no assoalho da carroceria, podese afirmar que a máxima velocidade, em m/s, que o caminhão poderá desenvolver, sem que a caixa escorregue é
a) 14,3
b) 16,0
c) 18,0
d) 21,5

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Raio da curva: r=51,2\\ \mathrm{m}.
    • Coeficiente de atrito estático entre caixa e assoalho: \mu_s=0,5.
    • Coeficiente de atrito cinético: \mu_k=0,4 (informação dada, mas a usar só se a caixa já estiver escorregando).
    • Plano do assoalho: horizontal (logo, não há componente do peso produzindo força lateral).
    • A caixa está apoiada apenas no assoalho (sem amarração).
    • A velocidade escalar do caminhão é constante ao entrar na curva — portanto a caixa precisa de força centrípeta para seguir a curva sem escorregar.
  • O que o enunciado pede:
    • A máxima velocidade (em \mathrm{m/s}) que o caminhão pode ter sem que a caixa escorregue ao fazer a curva.

Passo 2

Qual é a ideia física (explicação didática, passo a passo)?
  • Para um corpo seguir uma trajetória circular com velocidade escalar v e raio r é necessária uma aceleração centrípeta dirigida para o centro da curva, de módulo
a_c=\frac{v^2}{r}.
Aqui a_c é a aceleração (unidade \mathrm{m/s^2}), v é a velocidade escalar ( \mathrm{m/s}) e r é o raio ( \mathrm{m}).
  • A segunda lei de Newton diz que essa aceleração precisa ser produzida por uma força resultante horizontal dirigida para o centro. No nosso caso a única força horizontal disponível que pode fornecer essa força é a força de atrito entre a caixa e o assoalho.
  • A força de atrito estático máxima que pode agir antes da caixa começar a deslizar vale
f_{s,\max}=\mu_s N,
onde N é a força normal. Como o assoalho é horizontal e não há aceleração vertical, a normal equilibra o peso, logo N=mg. Aqui m é a massa da caixa e g a aceleração da gravidade.
  • Por isso, a força de atrito disponível para fornecer a força centrípeta é, no máximo,
f_{s,\max}=\mu_s m g.
  • Conclusão qualitativa: enquanto a força centrípeta exigida m v^2/r for menor ou igual a \mu_s m g, a caixa não escorrega. Se a exigência exceder isso, a caixa começa a deslizar e então entra em jogo o atrito cinético \mu_k (mas a questão pede a velocidade sem que escorregue, então usamos \mu_s).

Passo 3

Escrever a desigualdade que garante que a caixa não escorregue e isolar v.
  • A condição é
\frac{m v^2}{r} \le \mu_s m g.
  • Podemos simplificar cancelando m dos dois lados (a massa da caixa não entra no resultado final):
\frac{v^2}{r} \le \mu_s g.
  • Isolando v:
v \le \sqrt{\mu_s g r}.
Essa é a expressão geral: a máxima velocidade que não provoca deslizamento é v_{\max}=\sqrt{\mu_s g r}.

Passo 4

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo (sem pular contas).
  • Substituindo \mu_s=0,5, g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} e r=51,2\\ \mathrm{m},
\mu_s g r = 0,5 \times 9,8 \times 51,2.
  • Calcular em etapas:
    • Primeiro 9,8\times 51,2. Observação útil: 51,2=\dfrac{512}{10}, então
    9,8\times 51,2 = 9,8\times \frac{512}{10} = \frac{9,8\times 512}{10}.
    • Calcular 9,8\times 512. Uma maneira rápida: 9,8=(10-0,2), então
    9,8\times 512 = 10\times512 - 0,2\times512 = 5120 - 102,4 = 5017,6.
    • Dividindo por 10
    9,8\times 51,2 = 501,76.
    • Agora multiplicar por 0,5:
    0,5\times 501,76 = 250,88.
  • Assim
\mu_s g r = 250,88.

Passo 5

Calcular a raiz quadrada para obter v_{\max} e comparar com as alternativas.
  • Temos
v_{\max}=\sqrt{250,88}.
  • Para aproximar sem calculadora: testar quadrados próximos:
    • 15,8^2 = 249,64.
    • 15,85^2 = 251,2225.
    • Como 250,88 está entre esses dois, v_{\max} está entre 15,8 e 15,85. Calculando com um pouco mais de precisão (ou reconhecendo que 15,84^2\approx250,9056) obtemos
    v_{\max}\approx 15,84\\ \mathrm{m/s}.
  • Arredondando para uma casa decimal dá 15,8\\ \mathrm{m/s}. Observando as opções fornecidas, a que mais se aproxima é a alternativa (b) 16,0\\ \mathrm{m/s}. Em provas de múltipla escolha costuma-se aceitar a opção mais próxima quando valores estão arredondados.
  • Observação final: a razão de não usarmos \mu_k é que \mu_k entra só se a caixa já estiver deslizando; a pergunta pede a máxima velocidade “sem que a caixa escorregue”, então usamos \mu_s.

Resposta

b) 16,0\\ \mathrm{m/s}

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