(Epcar) Uma determinada caixa é transportada em um caminhão que percorre, com velocidade escalar constante, uma estrada plana e horizontal. Em um determinado instante, o caminhão entra em uma curva circular de raio igual a
, mantendo a mesma velocidade escalar. Sabendo-se que os coeficientes de atrito cinético e estático entre a caixa e o assoalho horizontal são, respectivamente, 0,4 e 0,5 e considerando que as dimensões do caminhão, em relação ao raio da curva, são desprezíveis e que a caixa esteja apoiada apenas no assoalho da carroceria, podese afirmar que a máxima velocidade, em m/s, que o caminhão poderá desenvolver, sem que a caixa escorregue é
a) 14,3
b) 16,0
c) 18,0
d) 21,5
a) 14,3
b) 16,0
c) 18,0
d) 21,5
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Raio da curva:
. - Coeficiente de atrito estático entre caixa e assoalho:
. - Coeficiente de atrito cinético:
(informação dada, mas a usar só se a caixa já estiver escorregando). - Plano do assoalho: horizontal (logo, não há componente do peso produzindo força lateral).
- A caixa está apoiada apenas no assoalho (sem amarração).
- A velocidade escalar do caminhão é constante ao entrar na curva — portanto a caixa precisa de força centrípeta para seguir a curva sem escorregar.
- Raio da curva:
-
O que o enunciado pede:
- A máxima velocidade (em
) que o caminhão pode ter sem que a caixa escorregue ao fazer a curva.
- A máxima velocidade (em
Passo 2
Qual é a ideia física (explicação didática, passo a passo)?
- Para um corpo seguir uma trajetória circular com velocidade escalar
e raio é necessária uma aceleração centrípeta dirigida para o centro da curva, de módulo
Aqui
é a aceleração (unidade
),
é a velocidade escalar (
) e
é o raio (
).
-
A segunda lei de Newton diz que essa aceleração precisa ser produzida por uma força resultante horizontal dirigida para o centro. No nosso caso a única força horizontal disponível que pode fornecer essa força é a força de atrito entre a caixa e o assoalho.
-
A força de atrito estático máxima que pode agir antes da caixa começar a deslizar vale
onde
é a força normal. Como o assoalho é horizontal e não há aceleração vertical, a normal equilibra o peso, logo
. Aqui
é a massa da caixa e
a aceleração da gravidade.
- Por isso, a força de atrito disponível para fornecer a força centrípeta é, no máximo,
- Conclusão qualitativa: enquanto a força centrípeta exigida
for menor ou igual a , a caixa não escorrega. Se a exigência exceder isso, a caixa começa a deslizar e então entra em jogo o atrito cinético (mas a questão pede a velocidade sem que escorregue, então usamos ).
Passo 3
Escrever a desigualdade que garante que a caixa não escorregue e isolar
.
- A condição é
- Podemos simplificar cancelando
dos dois lados (a massa da caixa não entra no resultado final):
- Isolando
:
Essa é a expressão geral: a máxima velocidade que não provoca deslizamento é
.
Passo 4
Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo (sem pular contas).
- Substituindo
, e ,
- Calcular em etapas:
- Primeiro
. Observação útil: , então
- Calcular
. Uma maneira rápida: , então
- Dividindo por
dá
- Agora multiplicar por
:
- Primeiro
- Assim
Passo 5
Calcular a raiz quadrada para obter
e comparar com as alternativas.
- Temos
-
Para aproximar sem calculadora: testar quadrados próximos:
-
. -
. - Como
está entre esses dois, está entre e . Calculando com um pouco mais de precisão (ou reconhecendo que ) obtemos
-
-
Arredondando para uma casa decimal dá
. Observando as opções fornecidas, a que mais se aproxima é a alternativa (b) . Em provas de múltipla escolha costuma-se aceitar a opção mais próxima quando valores estão arredondados. -
Observação final: a razão de não usarmos
é que entra só se a caixa já estiver deslizando; a pergunta pede a máxima velocidade “sem que a caixa escorregue”, então usamos .
Resposta
b)