[EQN-PF-2015-2] Um grilo de massa
encontra-se em repouso no solo e deseja saltar entre as duas extremidades de uma poça de água separadas por uma distância
. Ele consegue realizar o salto através de um esforço muscular capaz de lhe imprimir uma força
direcionada a
(com a horizontal) de duração muito curta
. Desprezando-se o efeito da força peso durante o impulso, qual deve ser o módulo de
para que o salto seja bem-sucedido?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá um grilo de massa
inicialmente em repouso no solo que quer saltar uma poça com distância entre as extremidades igual a
. O grilo aplica uma força de módulo
dirigida a
com a horizontal durante um intervalo muito curto
. Foi pedido: qual o módulo de
necessário para que o salto alcance a outra extremidade (ou seja, para que o alcance horizontal seja
). Informações relevantes listadas:
- massa:
. - distância horizontal a ser vencida:
. - força aplicada de módulo
com direção e duração . - durante o impulso, o peso é desprezado (logo só consideramos a força muscular para calcular o impulso).
- queremos o módulo de
em função de .
Passo 2
Entender o que acontece durante o impulso (curtíssimo intervalo
). Quando uma força age por um tempo pequeno ela fornece um impulso linear ao grilo. O impulso é definido como variação de quantidade de movimento (momento):
Aqui
tem módulo
e direção
. Como o grilo parte do repouso, a variação de momento é simplesmente o momento final
, onde
é a velocidade imediatamente após o impulso. Assim:
Isso significa que a magnitude do vetor velocidade inicial
satisfaz
porque a magnitude do impulso é
. Aqui
é o módulo da velocidade resultante imediatamente após o impulso.
Passo 3
Relacionar a direção do impulso com as componentes da velocidade inicial. Como a força foi aplicada a
,
também aponta a
. As componentes de
são iguais (porque
). Logo:
Passo 4
Agora tratamos o movimento após o impulso: o grilo é um projétil lançado do solo com velocidade inicial
fazendo
com a horizontal. Usamos as equações do movimento uniformemente acelerado na vertical (aceleração
) e movimento horizontal com velocidade constante. Para que o grilo atinja a outra extremidade no mesmo nível do lançamento, o alcance horizontal
é dado por:
onde
é o tempo total de voo até retornar ao mesmo nível do solo. O tempo de voo para lançamento e aterrissagem no mesmo nível pode ser obtido pela componente vertical: a altura volta a zero quando
Fatorando
(a solução
corresponde ao instante inicial) obtemos
Passo 5
Substituímos
em
. Como
, temos:
Calculemos passo a passo: o produto
. Portanto:
Observação alternativa (fórmula conhecida): para um lançamento com ângulo
, o alcance é
. Com
temos
e então
, resultado consistente.
Passo 6
Isolamos
a partir de
:
Isso é a velocidade que o grilo precisa ter imediatamente após o impulso para que o alcance horizontal seja
.
Passo 7
Voltamos à relação impulso-momento do Passo 2:
. Substituímos
nessa igualdade:
Agora isolamos
:
Passo 8
Interpretando o resultado:
cresce proporcionalmente a
e a
e decresce com o tempo de aplicação
. Faz sentido físico: para uma mesma massa e distância maior
é necessário maior velocidade inicial (proporcional a
), e se o impulso ocorre em tempo menor (
pequeno) a força precisa ser maior para produzir o mesmo impulso.