[EQN-PF-2015-2] Um grilo de massa m encontra-se em repouso no solo e deseja saltar entre as duas extremidades de uma poça de água separadas por uma distância L. Ele consegue realizar o salto através de um esforço muscular capaz de lhe imprimir uma força F direcionada a 45^{\circ} (com a horizontal) de duração muito curta \delta t. Desprezando-se o efeito da força peso durante o impulso, qual deve ser o módulo de F para que o salto seja bem-sucedido?
(a) \frac{m \sqrt{g L}}{2 \delta t}
(b) \frac{2 m \sqrt{g L}}{\delta t}
(c) \frac{m \sqrt{2 g L}}{\delta t}
(d) \frac{m \sqrt{g L}}{4 \delta t}
(e) \frac{m \sqrt{g L}}{\delta t}

Passo 1

O enunciado dá um grilo de massa m inicialmente em repouso no solo que quer saltar uma poça com distância entre as extremidades igual a L. O grilo aplica uma força de módulo F dirigida a 45^{\circ} com a horizontal durante um intervalo muito curto \delta t. Foi pedido: qual o módulo de F necessário para que o salto alcance a outra extremidade (ou seja, para que o alcance horizontal seja L). Informações relevantes listadas:
  • massa: m.
  • distância horizontal a ser vencida: L.
  • força aplicada de módulo F com direção \,45^\circ e duração \delta t.
  • durante o impulso, o peso é desprezado (logo só consideramos a força muscular para calcular o impulso).
  • queremos o módulo de F em função de m,\;g,\;L,\;\delta t.

Passo 2

Entender o que acontece durante o impulso (curtíssimo intervalo \delta t). Quando uma força age por um tempo pequeno ela fornece um impulso linear ao grilo. O impulso é definido como variação de quantidade de movimento (momento):
\text{Impulso} = \Delta \vec p = \vec F\,\delta t.
Aqui \vec F tem módulo F e direção 45^\circ. Como o grilo parte do repouso, a variação de momento é simplesmente o momento final m\vec v_0, onde \vec v_0 é a velocidade imediatamente após o impulso. Assim:
m\vec v_0 = \vec F\,\delta t.
Isso significa que a magnitude do vetor velocidade inicial \vec v_0 satisfaz
m v_0 = F\,\delta t,
porque a magnitude do impulso é F\,\delta t. Aqui v_0 é o módulo da velocidade resultante imediatamente após o impulso.

Passo 3

Relacionar a direção do impulso com as componentes da velocidade inicial. Como a força foi aplicada a 45^\circ, \vec v_0 também aponta a 45^\circ. As componentes de \vec v_0 são iguais (porque \cos45^\circ=\sin45^\circ=1/\sqrt{2}). Logo:
v_{0x}=v_{0}\cos45^\circ=\frac{v_0}{\sqrt{2}},\qquad v_{0y}=v_{0}\sin45^\circ=\frac{v_0}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Agora tratamos o movimento após o impulso: o grilo é um projétil lançado do solo com velocidade inicial \vec v_0 fazendo \,45^\circ com a horizontal. Usamos as equações do movimento uniformemente acelerado na vertical (aceleração -g) e movimento horizontal com velocidade constante. Para que o grilo atinja a outra extremidade no mesmo nível do lançamento, o alcance horizontal L é dado por:
L = v_{0x}\,T,
onde T é o tempo total de voo até retornar ao mesmo nível do solo. O tempo de voo para lançamento e aterrissagem no mesmo nível pode ser obtido pela componente vertical: a altura volta a zero quando
0 = v_{0y} T - \frac{1}{2} g T^2.
Fatorando T (a solução T=0 corresponde ao instante inicial) obtemos
T = \frac{2 v_{0y}}{g}.

Passo 5

Substituímos T em L = v_{0x} T. Como v_{0x}=v_{0y}=v_0/\sqrt{2}, temos:
L = v_{0x}\,T = \frac{v_0}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2 (v_0/\sqrt{2})}{g}.
Calculemos passo a passo: o produto \frac{v_0}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2 v_0}{\sqrt{2}} = \frac{2 v_0^2}{2} = v_0^2. Portanto:
L = \frac{v_0^2}{g}.
Observação alternativa (fórmula conhecida): para um lançamento com ângulo \theta, o alcance é R=\dfrac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}. Com \theta=45^\circ temos \sin(90^\circ)=1 e então L=v_0^2/g, resultado consistente.

Passo 6

Isolamos v_0 a partir de L = \dfrac{v_0^2}{g}:
v_0^2 = g L \quad\Rightarrow\quad v_0 = \sqrt{g L}.
Isso é a velocidade que o grilo precisa ter imediatamente após o impulso para que o alcance horizontal seja L.

Passo 7

Voltamos à relação impulso-momento do Passo 2: m v_0 = F\,\delta t. Substituímos v_0=\sqrt{g L} nessa igualdade:
m \sqrt{g L} = F\,\delta t.
Agora isolamos F:
F = \frac{m \sqrt{g L}}{\delta t}.

Passo 8

Interpretando o resultado: F cresce proporcionalmente a m e a \sqrt{gL} e decresce com o tempo de aplicação \delta t. Faz sentido físico: para uma mesma massa e distância maior L é necessário maior velocidade inicial (proporcional a \sqrt{L}), e se o impulso ocorre em tempo menor ( \delta t pequeno) a força precisa ser maior para produzir o mesmo impulso.

Resposta

\displaystyle \frac{m \sqrt{g L}}{\delta t}

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