A equação x^{3}-2 x-17=0 tem apenas uma raiz real. Determine seu valor correto até duas casas decimais (ou seja, \left|x_{k}-x_{k-1}\right|<10^{-2} ) usando o método de Newton e o método da Secante, considerando os seguintes valores inicias x_{1}=2,0 e x_{2}=3,0.

Passo 1

O enunciado pede a raiz real da equação
x^{3} - 2x - 17 = 0
usando o método de Newton e o método da Secante, com critério de convergência
\lvert x_{k} - x_{k-1}\rvert < 10^{-2}, e valores iniciais
\,x_{1}=2,0 e \,x_{2}=3,0.
O conteúdo é métodos iterativos em Análise Numérica; para Newton precisaremos da derivada
f(x)=x^{3}-2x-17, \quad f'(x)=3x^{2}-2.

Passo 2

Aplicando o método de Newton:
x_{k+1} \;=\; x_{k} \;-\;\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}.
Começando em x_{1}=2,0:
f(2,0) = -13, f'(2,0)=10
x_{2} = 2,0 - \frac{-13}{10} = 3,3,\quad |x_{2}-x_{1}|=1,3>0,01.
Agora em x_{2}=3,3:
f(3,3)\approx12,337, f'(3,3)\approx30,67
x_{3} = 3,3 - \frac{12,337}{30,67}\approx2,898,\quad |x_{3}-x_{2}|=0,402>0,01.
Em x_{3}=2,898:
f(2,898)\approx1,5599, f'(2,898)\approx23,194
x_{4} = 2,898 - \frac{1,5599}{23,194}\approx2,8308,\quad |x_{4}-x_{3}|=0,0672>0,01.
Em x_{4}=2,8308:
f(2,8308)\approx0,0164, f'(2,8308)\approx22,042
x_{5} = 2,8308 - \frac{0,0164}{22,042}\approx2,8301,\quad |x_{5}-x_{4}|=0,0007<0,01.
Como a variação ficou abaixo de 10^{-2}, paramos, obtendo
\,x\approx2,83 pelo método de Newton.

Passo 3

Aplicando o método da Secante com x_{1}=2,0 e x_{2}=3,0:
x_{n+1} = x_{n} - f(x_{n})\;\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
  1. n=2:
    f(2,0)=-13, f(3,0)=4
x_{3} = 3,0 - 4\;\frac{3,0-2,0}{4-(-13)} = 2,7647,\quad |x_{3}-x_{2}|=0,2353>0,01.
  1. n=3:
    f(2,7647)\approx-1,3944
x_{4} = 2,7647 -(-1,3944)\;\frac{2,7647-3,0}{-1,3944-4}\approx2,8256,\quad |x_{4}-x_{3}|=0,0609>0,01.
  1. n=4:
    f(2,8256)\approx-0,0862
x_{5} = 2,8256 -(-0,0862)\;\frac{2,8256-2,7647}{-0,0862-(-1,3944)}\approx2,8296,\quad |x_{5}-x_{4}|=0,0040<0,01.
Como a variação ficou abaixo de 10^{-2}, paramos, obtendo
\,x\approx2,83 pelo método da Secante.

Resposta

Pela iteração de Newton: x\approx2,83.
Pela iteração da Secante: x\approx2,83.

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