Calcule os pontos de máximos e mínimos relativos (se existirem):
Passo 1
O enunciado pede: "Calcule os pontos de máximos e mínimos relativos (se existirem) da função
".\n
Informações dadas que vamos usar:\n
Informações dadas que vamos usar:\n
- A função é
.\n - Não foi dada restrição de domínio, então o domínio é todos os reais:
.\n - Queremos encontrar pontos de máximo e mínimo relativos (ou seja, pontos onde a função atinge um valor maior ou menor localmente).
Passo 2
Escolhi o método usando derivadas (método padrão para esse tipo de problema). Agora vou explicar a regra que usamos para derivar polinômios.\n
Regra (power rule): se com
inteiro, então a derivada é
. Para uma constante multiplicando, a derivada escala pela constante. Para soma/subtração, derivamos termo a termo.\n
Aplicando isso em :\n
Regra (power rule): se
Aplicando isso em
- A derivada de
é (porque é uma constante vezes ).\n - A derivada de
é (pela power rule: , com sinal negativo).\n
Portanto, a derivada primeira é
Passo 3
Definição útil: pontos críticos são pontos do domínio onde
ou onde
não está definida. Aqui
é uma função linear definida para todo
, então não há pontos onde
é indefinida.\n
Resolvo para achar pontos críticos:
Resolvo
Isolando
:
Logo,
é o único ponto crítico.
Passo 4
Agora vamos classificar esse ponto crítico (máximo, mínimo ou ponto de sela). Vou usar o teste da segunda derivada e também farei uma checagem pelo sinal de
para ficar bem didático.\n
Primeiro a segunda derivada: derivamos . Usando a regra da derivada de uma constante e da power rule, obtemos
Primeiro a segunda derivada: derivamos
Isso é constante e igual a
para todo
.\n
Teste da segunda derivada: se então
tem mínimo relativo em
; se
então
tem máximo relativo em
; se
o teste é inconclusivo.\n
Aqui, em temos
. Portanto
é um ponto de máximo relativo.\n
Para confirmar de outro jeito (intuição): analisamos o sinal de :\n
Teste da segunda derivada: se
Aqui, em
Para confirmar de outro jeito (intuição): analisamos o sinal de
- Se
, então e a função está crescente à esquerda de .\n - Se
, então e a função está decrescente à direita de .\n
Crescendo antes e descendo depois => máximo em. Isso confirma o resultado do teste da segunda derivada.
Passo 5
Agora calculo o valor da função nesse ponto para dar o ponto completo
.\n
Substituo em
:
Substituo
Portanto o ponto é
.\n
Observação extra (método alternativo para ver o vértice da parábola): completando o quadrado em \n
Observação extra (método alternativo para ver o vértice da parábola): completando o quadrado em
Dessa forma fica claro que a parábola tem vértice em
com valor
e abre para baixo (coeficiente negativo de
), então é máximo global também. Mas a pergunta pediu máximos/minimos relativos; já vimos que existe um máximo relativo em
e não há mínimos relativos.
Resposta
Máximo relativo:
, valor
.\n
Mínimos relativos: não existem.
Mínimos relativos: não existem.