Calcule os pontos de máximos e mínimos relativos (se existirem):
f(x)=4 x-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede: "Calcule os pontos de máximos e mínimos relativos (se existirem) da função f(x)=4x-x^{2}".\n
Informações dadas que vamos usar:\n
  • A função é f(x)=4x-x^{2}.\n
  • Não foi dada restrição de domínio, então o domínio é todos os reais: \mathbb{R}.\n
  • Queremos encontrar pontos de máximo e mínimo relativos (ou seja, pontos onde a função atinge um valor maior ou menor localmente).

Passo 2

Escolhi o método usando derivadas (método padrão para esse tipo de problema). Agora vou explicar a regra que usamos para derivar polinômios.\n
Regra (power rule): se g(x)=x^{n} com n inteiro, então a derivada é g'(x)=n x^{n-1}. Para uma constante multiplicando, a derivada escala pela constante. Para soma/subtração, derivamos termo a termo.\n
Aplicando isso em f(x)=4x-x^{2}:\n
  • A derivada de 4x é 4 (porque é uma constante vezes x).\n
  • A derivada de -x^{2} é -2x (pela power rule: 2 x^{1}, com sinal negativo).\n
    Portanto, a derivada primeira é
f'(x)=4-2x.

Passo 3

Definição útil: pontos críticos são pontos do domínio onde f'(x)=0 ou onde f' não está definida. Aqui f'(x)=4-2x é uma função linear definida para todo x, então não há pontos onde f' é indefinida.\n
Resolvo f'(x)=0 para achar pontos críticos:
4-2x=0.
Isolando x:
-2x=-4,
x=2.
Logo, x=2 é o único ponto crítico.

Passo 4

Agora vamos classificar esse ponto crítico (máximo, mínimo ou ponto de sela). Vou usar o teste da segunda derivada e também farei uma checagem pelo sinal de f' para ficar bem didático.\n
Primeiro a segunda derivada: derivamos f'(x)=4-2x. Usando a regra da derivada de uma constante e da power rule, obtemos
f''(x)=-2.
Isso é constante e igual a -2 para todo x.\n
Teste da segunda derivada: se f''\text{(c)}>0 então f tem mínimo relativo em x=c; se f''\text{(c)}<0 então f tem máximo relativo em x=c; se f''\text{(c)}=0 o teste é inconclusivo.\n
Aqui, em x=2 temos f''(2)=-2<0. Portanto x=2 é um ponto de máximo relativo.\n
Para confirmar de outro jeito (intuição): analisamos o sinal de f'(x)=4-2x:\n
  • Se x<2, então 4-2x>0 e a função está crescente à esquerda de 2.\n
  • Se x>2, então 4-2x<0 e a função está decrescente à direita de 2.\n
    Crescendo antes e descendo depois => máximo em x=2. Isso confirma o resultado do teste da segunda derivada.

Passo 5

Agora calculo o valor da função nesse ponto para dar o ponto completo (x,f(x)).\n
Substituo x=2 em f(x)=4x-x^{2}:
f(2)=4\cdot 2 - 2^{2}=8-4=4.
Portanto o ponto é (2,4).\n
Observação extra (método alternativo para ver o vértice da parábola): completando o quadrado em f(x)\n
f(x)=4x-x^{2}=-\bigl(x^{2}-4x\bigr)=-\bigl((x-2)^{2}-4\bigr) = - (x-2)^{2} + 4.
Dessa forma fica claro que a parábola tem vértice em x=2 com valor 4 e abre para baixo (coeficiente negativo de (x-2)^{2}), então é máximo global também. Mas a pergunta pediu máximos/minimos relativos; já vimos que existe um máximo relativo em x=2 e não há mínimos relativos.

Resposta

Máximo relativo: x=2, valor f(2)=4.\n
Mínimos relativos: não existem.

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