Sejam
inteiros. Prove que:
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a relação “maior que” é transitiva entre inteiros, ou seja, dados três inteiros a, b e c, se sabemos que a > b e b > c, então devemos concluir que a > c. Vamos usar a definição de desigualdade estrita via diferença de inteiros.
Passo 2
Lembrando que para inteiros x e y definimos x > y quando x - y é um inteiro positivo. Além disso, sabemos que a soma de inteiros positivos é também um inteiro positivo.
Passo 3
Como a > b, temos a diferença positiva:
Como b > c, temos também:
Passo 4
Somando as duas desigualdades, usando a propriedade de que a soma de positivos é positiva, obtemos:
No lado esquerdo a soma telescópica simplifica:
Passo 5
Como a - c > 0, pela definição de > concluímos que a > c. Portanto, demonstramos a transitividade da desigualdade para inteiros.
Resposta
a > c