Na equação abaixo, analise, verifique e, caso necessário, calcule:
I) A equação é exata? Justifique.
II) Caso não seja, qual seu fator integrante?
III) Ela ficou exata?
IV) Qual a solução da equação?
I) A equação é exata? Justifique.
II) Caso não seja, qual seu fator integrante?
III) Ela ficou exata?
IV) Qual a solução da equação?
Passo 1
Temos a equação diferencial
com
e
. O conteúdo aqui é de equações diferenciais exatas e fator integrante; vamos precisar testar exatidão e, se necessário, achar um fator integrante.
Passo 2
Para verificar se é exata, calculamos as derivadas parciais:
e
.
Elas só coincidem se , ou seja,
. Concluímos que para
a equação não é exata.
Elas só coincidem se
Passo 3
Buscamos um fator integrante dependente só de
. O teste diz que
,
que é função apenas de . Logo
que é função apenas de
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Os novos termos são
e
Repetindo o teste de exatidão dá
e
,
portanto agora a equação é exata.
Repetindo o teste de exatidão dá
portanto agora a equação é exata.
Passo 5
Para achar a solução, procuramos
tal que
. Integramos em
:
Derivando em
Assim a função potencial é
e a solução implícita é
Resposta
I) A equação não é exata para
(só seria exata se
). II) Um fator integrante é
. III) Multiplicando por
a equação fica exata. IV) A solução implícita é