Na equação abaixo, analise, verifique e, caso necessário, calcule:
I) A equação é exata? Justifique.
II) Caso não seja, qual seu fator integrante?
III) Ela ficou exata?
IV) Qual a solução da equação?
m(6 x y) d x+(4 y+9 x^2) d y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 com M(x,y)=6mxy e N(x,y)=4y+9x^2. O conteúdo aqui é de equações diferenciais exatas e fator integrante; vamos precisar testar exatidão e, se necessário, achar um fator integrante.

Passo 2

Para verificar se é exata, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=6m x e
partial Npartial x=18x.
Elas só coincidem se 6m x=18x, ou seja, m=3. Concluímos que para mneq3 a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante dependente só de y. O teste diz que
1Ml(partial Npartial x-partial Mpartial yr)=18x-6m x6m x y=3-mm,y,
que é função apenas de y. Logo
mu(y)=expgl(integral3-mm,y,dygr)=y^(3-m)/m

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(y). Os novos termos são
M^*=6m x ycdot y^(3-m)/m=6m x,y^(3-m)/m+1 e
N^*=(4y+9x^2),y^(3-m)/m
Repetindo o teste de exatidão dá
partial M^*/partial y=18x,y^(3-m)/m e
partial N^*/partial x=18x,y^(3-m)/m,
portanto agora a equação é exata.

Passo 5

Para achar a solução, procuramos phi(x,y) tal que
phix=M^*. Integramos em x:
phi(x,y)=integral6m x,y^(3-m)/m+1,dx=3m x^2,y^(3-m)/m+1+h(y)
Derivando em y e igualando a N^* permite achar
h'(y)=4y^3/m e
h(y)=4mm+3,y^(3+m)/m+C
Assim a função potencial é
phi(x,y)=3m x^2 y^3/m+4mm+3y^(3+m)/m,
e a solução implícita é
phi(x,y)=constante

Resposta

I) A equação não é exata para mneq3 (só seria exata se m=3). II) Um fator integrante é mu(y)=y^(3-m)/m. III) Multiplicando por mu(y) a equação fica exata. IV) A solução implícita é
3m x^2 y^3/m+4mm+3,y^(3+m)/m=C

Exercícios relacionados