Para resolver equações diferenciais lineares completas de primeira ordem, aprendemos o método do fator integrante para resolve - las. Desta forma, qual a solução das equações abaixo e utilize este método, quando necessário:
d yd x+yx=-x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem linear dydx + yx = -x usando o método do fator integrante. O conteúdo envolvido é equações diferenciais lineares de primeira ordem e vamos precisar identificar P(x) e Q(x), calcular o fator integrante mu(x) e aplicar as etapas padrões desse método.

Passo 2

Primeiro identificamos as funções P(x) e Q(x) na forma padrão dydx + P(x)y = Q(x). Aqui temos:
P(x) = 1x, Q(x) = -x

Passo 3

Em seguida, calculamos o fator integrante mu(x) definido por mu(x) = e^integral P(x),dx. Assim:
mu(x) = e^integral 1x ,dx = e^ln|x| = |x|
Como podemos trabalhar em um intervalo onde x não muda de sinal, escolhemos mu(x)=x.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original por mu(x)=x, obtendo:
xdydx + y = -x^2

Passo 5

O lado esquerdo dessa igualdade é precisamente a derivada do produto x,y, pois
ddxl(xyr) = xdydx + y
Logo podemos reescrever a equação como:
ddxl(xyr) = -x^2

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
xy = integral (-x^2),dx = -x^33 + C, onde C é a constante de integração. Finalmente, isolamos y:
y = -x^23 + Cx

Resposta

y = -x^23 + Cx

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