A equação abaixo apresenta o modelo para o oscilador não-linear de Duffing
m ddotx+b0 dotx+k1 x^3-k0 x=F
Encontre os pontos de equilíbrio para Fe q=0.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem a equação do oscilador de Duffing
m ,ddot x + b0,dot x + k1,x^3 - k0,x = F
e o enunciado pede para achar os pontos de equilíbrio quando a força externa é zero, ou seja, Feq=0.
Conteúdo: dinâmica de sistemas e ponto de equilíbrio.
O que vamos precisar: entender que, no equilíbrio, não há movimento nem aceleração (ou seja, dot x=0 e ddot x=0) e então resolver uma equação algébrica em x.

Passo 2

Teoria básica de ponto de equilíbrio: num sistema dinâmico, ponto de equilíbrio é onde todas as derivadas de estado valem zero. Aqui o estado é x, então a gente impõe
dot x = 0 e ddot x = 0
Isso faz com que a equação diferencial vire só uma equação algébrica:

Passo 3

Como Feq=0, substituindo na equação e usando dot x=0, ddot x=0, sobra:
k1,x^3 - k0,x = 0

Passo 4

Agora é só resolver essa equação algébrica. A gente fatoriza x:
x,(k1,x^2 - k0) = 0
Daí saem duas possibilidades:
1) x = 0
2) k1,x^2 - k0 = 0 ;Rightarrow; x^2 = k0k1

Passo 5

Resolvendo x^2 = k0k1 a gente encontra
x = pm raizk0k1,

Resposta

Os pontos de equilíbrio, quando Feq=0, são
x = 0, x = +raizk0k1, x = -raizk0k1,

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