A equação abaixo descreve o torque de operação de um relé do tipo admitância. Considerando o limiar de atuação, ou seja, condição de torque nulo, encontre matematicamente o lugar geométrico que descreva a região de operação desse relé.
\tau=k_{1} \times V \times I \times \cos (r-\theta)-k_{2} \times V^{2}-k_{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão do torque de um relé do tipo admitância:
\tau = k_{1}\,V\,I\,\cos(r - \theta) \;-\; k_{2}\,V^{2} \;-\; k_{3}
Queremos o lugar geométrico (no plano V- I) para o qual o torque é nulo, pois esse limite separa a região em que o relé atua ( \tau>0) da região em que ele não atua ( \tau<0).

Passo 2

Para encontrar a fronteira de atuação, impomos a condição de limiar de atuação, isto é \tau=0. Assim,
0 = k_{1}\,V\,I\,\cos(r - \theta) \;-\; k_{2}\,V^{2} \;-\; k_{3}.

Passo 3

Rearranjando para isolar I, temos
k_{1}\,V\,I\,\cos(r - \theta) = k_{2}\,V^{2} + k_{3} \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{k_{2}\,V^{2} + k_{3}}{k_{1}\,V\,\cos(r - \theta)}.

Passo 4

A equação
I(V) = \frac{k_{2}}{k_{1}\,\cos(r - \theta)}\,V \;+\; \frac{k_{3}}{k_{1}\,\cos(r - \theta)}\;\frac{1}{V}
é a forma canônica de uma hipérbole equilátera no plano V- I. Essa curva é o limiar de atuação do relé.

Passo 5

A região de operação (onde o relé ferroa) corresponde a \tau>0. Como \cos(r-\theta) é constante, basta exigir
I > \frac{k_{2}\,V^{2} + k_{3}}{k_{1}\,V\,\cos(r - \theta)} \quad\text{se}\quad \cos(r-\theta)>0,
ou o sentido da desigualdade se \cos(r-\theta)<0.

Resposta

O lugar geométrico de atuação (limiar de torque nulo) é dado por
I = \frac{k_{2}\,V^{2} + k_{3}}{k_{1}\,V\,\cos(r - \theta)},
forma de hipérbole no plano V- I. A região em que o relé atua ( \tau>0) é o conjunto de pontos (V,I) que satisfazem
I > \frac{k_{2}\,V^{2} + k_{3}}{k_{1}\,V\,\cos(r - \theta)}
quando \cos(r-\theta)>0 (e invertem-se os sinais se \cos(r-\theta)<0).

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