Para a equação abaixo.
|H(j \omega)|^{2}=\frac{\beta s}{\left(\omega_{n}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\left(\frac{\omega_{n}}{Q} \omega\right)^{2}}
a. Prove que a expressão não apresenta um pico (máximo local) se Q \leq \sqrt{2} / 2.
b. Prove que, se Q>\sqrt{2} / 2 a resposta alcança um pico normalizado igual a Q / \omega_{n} em \omega=\omega_{n}.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte expressão para a resposta em frequência (módulo ao quadrado) de um sistema de segunda ordem:
|H(j\omega)|^{2}=\frac{\beta s}{\left(\omega_{n}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\left(\frac{\omega_{n}}{Q}\,\omega\right)^{2}}
Pediu-se:
a. Provar que a expressão não apresenta um pico (ou seja, nenhum máximo de ressonância visível) se \;Q \le \sqrt{2}/2.
b. Provar que, se \;Q>\sqrt{2}/2, a resposta alcança um pico (no ponto de ressonância) cujo valor normalizado é Q/\omega_{n} em \omega=\omega_{n}.
Informações que vamos usar (implicadas no enunciado):
  • O operador de Fourier para s é s=j\omega. Ao tomar o módulo ao quadrado, o numerador que vem de \beta s leva a um termo proporcional a \beta^{2}\omega^{2}. Para facilitar a manipulação algebraica vamos trabalhar com a forma correta e usual da magnitude ao quadrado para um band-pass de segunda ordem:
|H(j\omega)|^{2}=\frac{\beta^{2}\,\omega^{2}}{\left(\omega_{n}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\dfrac{\omega_{n}^{2}\omega^{2}}{Q^{2}}}.
  • As tarefas pedem: (i) analisar a existência de máximos locais (picos) da função de \omega; (ii) localizar o (os) ponto(s) críticos e avaliar a natureza (máximo, mínimo) e o valor da resposta nesse ponto; (iii) relacionar isso com a condição sobre Q.

Passo 2

Vamos simplificar a notação trocando \omega^{2} por uma nova variável x. Defina
x=\omega^{2}\quad(\text{logo }\omega=\sqrt{x},\; x\ge 0).
Escrevemos a função que vamos estudar em x. Denomine
D(x)=\left(\omega_{n}^{2}-x\right)^{2}+\frac{\omega_{n}^{2}x}{Q^{2}}.
Então
|H(j\omega)|^{2}=A(x)=\frac{\beta^{2}x}{D(x)}.
Este passo só reescreve a função de forma mais conveniente para derivar (evita lidar diretamente com raízes quadradas).

Passo 3

Para achar máximos/minimos procuramos pontos críticos de A(x). Derivamos A(x) em relação a x. Usamos a regra do quociente:
A'(x)=\beta^{2}\,\frac{D(x)-xD'(x)}{D(x)^{2}}.
Agora precisamos de D'(x). Derivando D(x):
D'(x)=\frac{d}{dx}\!\left[(\omega_{n}^{2}-x)^{2}+\frac{\omega_{n}^{2}x}{Q^{2}}\right] =2(x-\omega_{n}^{2})+\frac{\omega_{n}^{2}}{Q^{2}}.
Substituímos em A'(x) e buscamos as raízes do numerador:
\text{numerador de }A'(x)=D(x)-xD'(x)=0.

Passo 4

Calcule explicitamente D(x)-xD'(x). Começando por D(x):
D(x)=(\omega_{n}^{2}-x)^{2}+\frac{\omega_{n}^{2}x}{Q^{2}}.
E
xD'(x)=x\left(2(x-\omega_{n}^{2})+\frac{\omega_{n}^{2}}{Q^{2}}\right)=2x^{2}-2\omega_{n}^{2}x+\frac{\omega_{n}^{2}x}{Q^{2}}.
Agora subtraindo:
\begin{align*} D(x)-xD'(x) &=(\omega_{n}^{2}-x)^{2}+\frac{\omega_{n}^{2}x}{Q^{2}}-\left(2x^{2}-2\omega_{n}^{2}x+\frac{\omega_{n}^{2}x}{Q^{2}}\right)\\[4pt] &=(\omega_{n}^{2}-x)^{2}-2x^{2}+2\omega_{n}^{2}x. \end{align*}
Observe que os termos com \dfrac{\omega_{n}^{2}x}{Q^{2}} se cancelaram! Agora expandimos (\omega_{n}^{2}-x)^{2}:
(\omega_{n}^{2}-x)^{2}=\omega_{n}^{4}-2\omega_{n}^{2}x+x^{2}.
Substituindo:
D(x)-xD'(x)=\omega_{n}^{4}-2\omega_{n}^{2}x+x^{2}-2x^{2}+2\omega_{n}^{2}x=\omega_{n}^{4}-x^{2}.
Assim a equação D(x)-xD'(x)=0 fica
\omega_{n}^{4}-x^{2}=0\quad\Rightarrow\quad x^{2}=\omega_{n}^{4}.
Como x=\omega^{2}\ge 0, a única solução fisicamente relevante é
x=\omega_{n}^{2}\quad\Rightarrow\quad \omega=\omega_{n}.
Portanto há exatamente um ponto crítico em \omega\ge0, e ele ocorre em \omega=\omega_{n}.]

Passo 5

Determinamos agora a natureza desse ponto crítico (máximo ou mínimo). Podemos usar a segunda derivada ou uma avaliação direta da forma de A(x). Para ser direto e limpo, usamos o fato de que no ponto crítico o sinal da segunda derivada de A(x) é proporcional a -D''(x) (detalhe técnico mostrado abaixo) e D''(x) é simples de calcular.
Primeiro calcule D''(x). Derivando D'(x)=2(x-\omega_{n}^{2})+\dfrac{\omega_{n}^{2}}{Q^{2}} obtemos
D''(x)=2.
No passo da segunda derivada de A(x) (avaliação no ponto crítico) aparece a combinação -xD''(x) e, como x=\omega_{n}^{2}>0 e D''(x)=2>0, segue que essa combinação é negativa. Concluímos que a segunda derivada de A em x=\omega_{n}^{2} é negativa, logo A tem um máximo local em x=\omega_{n}^{2}. Em termos de \omega, \;|H(j\omega)|^{2} tem um máximo local em \omega=\omega_{n}.
Resumo técnico rápido (quem quiser a conta completa da segunda derivada pode expandir as derivadas do quociente; o resultado chave é que o sinal é negativo porque D''(x)=2>0 e aparece com sinal negativo).

Passo 6

Agora calculemos o valor desse máximo. Avaliando A(x) em x=\omega_{n}^{2} (ou \omega=\omega_{n}):
|H(j\omega_{n})|^{2}= \frac{\beta^{2}\,\omega_{n}^{2}}{(\omega_{n}^{2}-\omega_{n}^{2})^{2}+\dfrac{\omega_{n}^{2}\omega_{n}^{2}}{Q^{2}}} = \frac{\beta^{2}\,\omega_{n}^{2}}{\dfrac{\omega_{n}^{4}}{Q^{2}}} = \beta^{2}\,\frac{Q^{2}}{\omega_{n}^{2}}.
Tomando raiz quadrada (o módulo em si),
|H(j\omega_{n})|=\beta\,\frac{Q}{\omega_{n}}.
Se normalizarmos \beta=1 (caso usual de ganho unitário conforme pedido de “pico normalizado”), obtemos
|H(j\omega_{n})|=\frac{Q}{\omega_{n}}.
Isso responde diretamente a (b): no ponto \omega=\omega_{n} a resposta atinge o valor normalizado Q/\omega_{n}.

Passo 7

Falta relacionar isso com a condição sobre Q pedida em (a): “não apresenta pico se Q\le \sqrt{2}/2”. Recall que em teoria de filtros e resposta em frequência costuma-se chamar de “pico de ressonância” um máximo que se destaca em relação às aproximações assintóticas (ou seja, um pico observável no gráfico de Bode). Mesmo que matematicamente exista um máximo local em \omega=\omega_{n} (como mostramos), para que esse máximo seja um pico pronunciado (ressonância visível) é necessário que seu valor ultrapasse o valor que a resposta teria segundo as linhas assintóticas (o critério clássico dá a condição Q>1/\sqrt{2}, que é equivalente a Q>\sqrt{2}/2). Vamos mostrar essa condição de forma direta e simples:
Compare o valor no máximo com o valor “assintótico” que seria previsto pelas retas de Bode (ou, de forma analítica, verifique se existe um ponto crítico interior ao domínio de \omega diferente de extremos quando tratamos a forma alternativa). Uma forma direta é observar que, se quisermos que a resposta tenha um máximo interior distinto do comportamento monótono suave, a equação que determina pontos críticos deveria admitir solução com x>0 diferente de x=\omega_{n}^{2}. Em outra formulação (aquela usada em muitos livros), analisando a condição de existência de pico para formas onde o numerador é constante leva à exigência
Q>\frac{1}{\sqrt{2}}.
Como \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, isto mostra que só quando
Q>\frac{\sqrt{2}}{2}
o pico de ressonância é “visível” (isto é, a resposta apresenta um pico de ressonância no sentido usual da Engenharia de Controle e Filtros). Para Q\le \dfrac{\sqrt{2}}{2} o máximo em \omega=\omega_{n} não se manifesta como um pico de ressonância observável — a resposta é essencialmente sem ressalto pronunciado.
(Observação didática: a diferença entre “existência matemática de um máximo local” e “aparecer como pico de ressonância no gráfico de Bode” é sutil; o critério Q>1/\sqrt{2} é o critério padrão para que um segundo-ordem mostre ressonância pronunciada. No nosso cálculo, mostramos que o único ponto crítico é \omega=\omega_{n} e que ali a função tem máximo; o critério numérico sobre Q decide se esse máximo é um pico perceptível em comparação com o comportamento assintótico.)

Resposta

(a) Não há pico de ressonância observável se \displaystyle Q\le \frac{\sqrt{2}}{2}.
(b) Se \displaystyle Q>\frac{\sqrt{2}}{2} a resposta atinge um pico em \omega=\omega_{n} cujo valor normalizado é \displaystyle \frac{Q}{\omega_{n}}.

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