Projetar os filtros de segunda ordem baseados na estrutura Sallen-Key:
Filtro passa- faixas, freq. de corte de 300 Hz e 600 Hz .

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos\n
  • Pedido: projetar um filtro passa-faixas (band-pass) usando estruturas de segunda ordem do tipo Sallen–Key.
  • Informação numérica dada: frequências de corte 300\:\text{Hz} e 600\:\text{Hz}.
  • Interpretação adotada (sem perguntar nada a você): vamos construir o passa-faixas criando e casando duas etapas de segunda ordem Sallen–Key: uma etapa passa-alta com frequência de corte f_L=300\:\text{Hz} e uma etapa passa-baixa com frequência de corte f_H=600\:\text{Hz}. Ao colocar a passa-alta primeiro e a passa-baixa depois (ou vice-versa) obtemos uma banda onde as duas respostas deixam passar os sinais entre aproximadamente 300 e 600\:\text{Hz}.
  • Informações relevantes anotadas: precisamos escolher um tipo de resposta (eu vou assumir resposta Butterworth de segunda ordem em cada etapa para obter resposta plana na banda) e decidir valores práticos de componentes (capacitâncias e resistências padrão) e o ganho do amplificador operacional usado na topologia Sallen–Key (o ganho influencia o fator de qualidade Q).

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (mini-aula prática e sem pulo de etapas)\n
  • Objetivo de uma etapa Sallen–Key de segunda ordem (tanto passa-baixa quanto passa-alta): obter uma função de transferência padrão da forma
H(s)=K\frac{\omega_0^2}{s^2+s\frac{\omega_0}{Q}+\omega_0^2}
onde:
  • s é a variável complexa de Laplace,
  • \omega_0 é a frequência angular natural ( \omega_0=2\pi f_c para o caso dos polos na frequência de corte desejada),
  • Q é o fator de qualidade (controla a “nitidez” do pico em torno de \omega_0),
  • K é o ganho DC da etapa (para filtros ativos Sallen–Key não necessariamente unitário).
  • Para a topologia Sallen–Key com componentes emparelhados (escolha prática e simples) usamos as condições:
    • R_1=R_2=R e C_1=C_2=C. Essa escolha simplifica muito o projeto e é normalmente usada em aulas e provas.
  • Com essas escolhas as fórmulas se tornam muito simples:
\omega_0=\frac{1}{RC}
f_c=\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{1}{2\pi RC}
e, para a configuração não inversora Sallen–Key com ganho DC K do estágio amplificador, a relação entre K e Q (quando R_1=R_2,\; C_1=C_2) é a conhecida fórmula
Q=\frac{1}{3-K}.
  • Explicação da escolha Butterworth: a resposta Butterworth de segunda ordem tem Q=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx0{,}7071. Essa escolha é típica quando queremos banda sem picos (maximally flat). A fórmula acima nos dá então o ganho necessário:
K=3-\frac{1}{Q}=3-\sqrt{2}\approx1{,}586.
  • Como implementar K em prática: num amplificador não inversor, K=1+\dfrac{R_f}{R_g}. Assim escolhemos R_f e R_g para obter K\approx1{,}586.

Passo 3

Escolhas práticas de componentes e cálculo para a etapa passa-alta ( f_L=300\:\text{Hz})\n
  • Escolha prática para capacitores: C_1=C_2=C=100\:\text{nF}=100\times10^{-9}\:\text{F}. Motivo: valor razoável para áudio/baixas frequências, evita resistores muito grandes ou muito pequenos. (Você pode escolher outros C, o raciocínio é o mesmo.)
  • Usamos a fórmula \displaystyle f_c=\frac{1}{2\pi RC}. Isolando R:
R=\frac{1}{2\pi f_c C}.
  • Substituindo f_c=300\:\text{Hz} e C=100\:\text{nF}:
R=\frac{1}{2\pi\cdot 300\cdot 100\times10^{-9}}=\frac{1}{2\pi\cdot 3\times10^{-5}}\approx 5305\:\Omega.
  • Escolha de resistor padrão: usamos R_1=R_2=5{,}1\:\text{k}\Omega (valor padrão E12 próximo de 5305\:\Omega).
  • Calcule a frequência efetiva com R=5{,}1\:\text{k}\Omega:
f_{L,\text{ef}}=\frac{1}{2\pi\cdot 5100\cdot 100\times10^{-9}}\approx 312{,}5\:\text{Hz}.
Comentário: é um desvio pequeno (+4,2%) em relação a 300\:\text{Hz} e normalmente aceitável; se quiser exatamente 300 Hz use resistor de 5{,}3\:\text{k}\Omega ou um trimmer para ajuste fino.

Passo 4

Cálculo do ganho K e implementação em resistores (para etapa passa-alta)\n
  • Queremos Q=1/\sqrt{2}\Rightarrow K\approx1{,}586. Em amplificador não inversor:
K=1+\frac{R_f}{R_g}\quad\Rightarrow\quad \frac{R_f}{R_g}=K-1\approx0{,}586.
  • Escolha prática: R_g=10\:\text{k}\Omega (resistor comum, mantém baixa sensibilidade ao ruído). Então
R_f=(K-1)R_g\approx 0{,}586\times 10{,}000\approx 5{,}860\:\Omega.
  • Valores práticos: use R_f=5{,}6\:\text{k}\Omega + 270\:\Omega em série (atenção: 5{,}6\:\text{k}+270\:\Omega=5{,}870\:\Omega, muito próximo do cálculo) e R_g=10\:\text{k}\Omega.
  • Verificação do K real com esses resistores:
K_{\text{real}}=1+\frac{5870}{10000}=1{,}587.
  • Verificação do Q real:
Q_{\text{real}}=\frac{1}{3-K_{\text{real}}}=\frac{1}{3-1{,}587}\approx0{,}7077,
que é praticamente o alvo Butterworth 0{,}7071.

Passo 5

Projeto da etapa passa-baixa ( f_H=600\:\text{Hz}) com o mesmo raciocínio\n
  • Mantemos C_1=C_2=C=100\:\text{nF} e R_1=R_2=R. Usamos
R=\frac{1}{2\pi f_c C}=\frac{1}{2\pi\cdot 600\cdot 100\times10^{-9}}\approx 2652\:\Omega.
  • Escolha de resistor padrão: R_1=R_2=2{,}7\:\text{k}\Omega.
  • Frequência efetiva com R=2{,}7\:\text{k}\Omega:
f_{H,\text{ef}}=\frac{1}{2\pi\cdot 2700\cdot 100\times10^{-9}}\approx 589{,}0\:\text{Hz}.
  • Ganho K da etapa: usamos o mesmo K\approx1{,}587 (mesmo R_f e R_g do passo 4) para obter Q Butterworth. Cada etapa Sallen–Key precisa do seu amplificador (ou de uma seção de amp) configurado com esse ganho.

Passo 6

Como montar o passa-faixas final e considerações práticas\n
  • Topologia de montagem: entrada → etapa passa-alta (R=5,1k, C=100nF, SK com ganho K) → etapa passa-baixa (R=2,7k, C=100nF, SK com ganho K) → saída. Assim a banda útil aproximada fica entre ~ 312\:\text{Hz} e ~ 589\:\text{Hz}, bem próxima da especificação 300 600\:\text{Hz}.
  • Observações de projeto/prática:
    • Cada etapa Sallen–Key precisa do seu op amp (ou de uma entrada/saída em um amp com múltiplos canais). Use um amp com boa resposta em baixa frequência (por ex. TL072, NE5532, LM324 dependendo do sinal e da tensão de alimentação).
    • Se quiser ajuste fino das frequências, troque um resistor por um trimmer (por ex. troque R_1 da etapa por um potenciômetro série/paralelo para calibrar exatamente 300 e 600\:\text{Hz}).
    • Se preferir componentes com menor tolerância nos capacitores (1% ou 2%) e resistores de 1% melhora-se a precisão da f_c.
    • Se desejar um passa-faixas de ordem exatamente 2 (em vez de cascata de duas segundas ordens que gera 4ª ordem), seria necessário projetar um único bloco biquadrático que gere resposta band-pass (topologia múltiplo realimentada), mas a solução por cascata HP+LP é didática, simples e muito comum em provas e projetos.

Passo 7

Resumo de valores finais calculados e verificados (antes do

Resposta

Etapa passa-alta (corte ≈300 Hz): C_1=C_2=100\:\text{nF}, R_1=R_2=5{,}1\:\text{k}\Omega; ganho do bloco K\approx1{,}587 implementado por R_f=5{,}6\:\text{k}\Omega+270\:\Omega (em série) e R_g=10\:\text{k}\Omega. Frequência efetiva ≈ 312{,}5\:\text{Hz}.\n
Etapa passa-baixa (corte ≈600 Hz): C_1=C_2=100\:\text{nF}, R_1=R_2=2{,}7\:\text{k}\Omega; ganho do bloco K\approx1{,}587 implementado por R_f=5{,}6\:\text{k}\Omega+270\:\Omega e R_g=10\:\text{k}\Omega. Frequência efetiva ≈ 589{,}0\:\text{Hz}.

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