Projetar os filtros de segunda ordem baseados na estrutura Sallen-Key:
Filtro passa- altas, freq. de corte de 800 Hz .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos como dado:
  • Pedem: projetar um filtro de segunda ordem baseado na estrutura Sallen‑Key, do tipo passa‑altas, com frequência de corte 800\\ \text{Hz}.
  • Dado: apenas a frequência de corte \,800\\ \text{Hz}.
  • Decisões que vou tomar (porque o enunciado não especificou): vou projetar um filtro com resposta de Butterworth (maximamente plana na banda passante) e usar a configuração Sallen‑Key em ganho unitário ( K=1). Vou escolher valores de capacitor práticos e calcular os resistores. No final dou os valores padrão sugeridos e a frequência real obtida.

Passo 2

Entendendo a estrutura e as fórmulas básicas (aulas rápidas para você não se perder)
  • A função de transferência de um filtro passa‑altas de segunda ordem, na forma normalizada, é
H(s)=\frac{(s/\omega_0)^2}{(s/\omega_0)^2 + \dfrac{s}{Q\,\omega_0} + 1},
onde:
  • \omega_0 é a pulsação natural (rad/s) relacionada à frequência de corte por \omega_0=2\pi f_c,
  • Q é o fator de qualidade que determina a “ressonância” do pólo (para Butterworth de segunda ordem temos Q=1/\sqrt{2}\approx0{,}7071).
  • Para a topologia Sallen‑Key passa‑altas (não inversora, ganho K), as relações entre componentes (usando nomenclatura padrão R_1,R_2,C_1,C_2) que resultam nos parâmetros \omega_0 e Q são (fórmulas clássicas do projeto Sallen‑Key):
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}}
e, no caso K=1 (ganho unitário),
Q=\frac{1}{3 - \dfrac{C_1}{C_2} - \dfrac{R_1}{R_2}}.
  • Explicando em miúdos: \omega_0 depende do produto R_1R_2C_1C_2. O Q depende das razões C_1/C_2 e R_1/R_2. Uma forma prática é escolher C_1=C_2 para simplificar e então ajustar a razão R_1/R_2 para obter o Q desejado.

Passo 3

Escolhas de projeto e equações a resolver
  • Escolho:
    • f_c=800\\ \text{Hz} (dado), logo \omega_0 = 2\pi\cdot 800.
    • objetivo Q=1/\sqrt{2} (Butterworth de 2ª ordem).
    • ganho K=1 (Sallen‑Key buffer unity gain, mais estável e fácil).
    • simplificação prática: C_1=C_2=C.
  • Com C_1=C_2 a expressão para Q vira:
Q=\frac{1}{3 - 1 - \dfrac{R_1}{R_2}} = \frac{1}{2 - \dfrac{R_1}{R_2}}.
  • Isolando \dfrac{R_1}{R_2} obtemos:
\frac{R_1}{R_2} = 2 - \frac{1}{Q}.

Passo 4

Calcular a razão de resistores para Q=1/\sqrt{2}
  • Primeiro calcule Q numérico:
Q=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0{,}70710678.
  • Então
\frac{R_1}{R_2}=2 - \frac{1}{Q}=2 - \sqrt{2}\approx 2 - 1{,}41421356 = 0{,}58578644.
  • Conclusão: R_1 \approx 0{,}58578644\;R_2. Vou usar essa relação para achar R_1 e R_2.

Passo 5

Escolha prática do capacitor e cálculo do produto R_1R_2
  • Escolho um valor prático de capacitor: C_1=C_2=C=10\\ \text{nF}=10\times10^{-9}\\ \text{F}. Motivo: valor comum, barato, e mantém resistores em faixa prática (kΩ).
  • Calcule \omega_0:
\omega_0=2\pi f_c = 2\pi\cdot 800 \approx 5026{,}548\\ \text{rad/s}.
  • A relação para \omega_0
R_1 R_2 = \frac{1}{\omega_0^2 C^2}.
  • Substituindo números:
R_1 R_2 = \frac{1}{(5026{,}548)^2 \cdot (10\times10^{-9})^2} \approx 3{,}957\times 10^8\\ \Omega^2.

Passo 6

Determinar R_2 e R_1 numericamente
  • Usando R_1 = 0{,}58578644\;R_2 e R_1R_2=3{,}957\times10^8,
0{,}58578644\;R_2^2 = 3{,}957\times10^8\quad\Rightarrow\quad R_2^2=\frac{3{,}957\times10^8}{0{,}58578644}\approx 6{,}7579\times10^8.
  • Logo
R_2\approx \sqrt{6{,}7579\times10^8}\approx 2{,}5996\times10^4\\ \Omega \approx 25{,}996\\ \Omega.
  • E
R_1=0{,}58578644\;R_2\approx 0{,}58578644\cdot 25{,}996\approx 15{,}232\\ \Omega.

Passo 7

Escolha de valores comerciais e verificação final
  • Valores calculados: R_1\approx 15{,}23\\ \text{k}\Omega, R_2\approx 25{,}996\\ \text{k}\Omega.
  • Escolho valores comerciais próximos (E24/E12 tolerâncias comuns):
    • C_1=C_2=10\\ \text{nF},
    • R_1=15{,}8\\ \text{k}\Omega (E24) — escolhido para ficar perto do calculado,
    • R_2=26\\ \text{k}\Omega (E24).
  • Agora verifico a frequência obtida com esses valores:
    • Produto R_1R_2 = 15{,}800\cdot 26{,}000 = 4{,}108\times10^8\\ \Omega^2.
    • \omega_0 = 1/\sqrt{R_1 R_2 C^2} = 1/\sqrt{4{,}108\times10^8 \cdot (10\times10^{-9})^2}\approx 4{,}933{,}9\\ \text{rad/s}.
    • f_c = \omega_0/(2\pi)\approx 4{,}933{,}9/(2\pi)\approx 785{,}8\\ \text{Hz}.
  • Verificação do Q com os valores escolhidos:
    • \dfrac{R_1}{R_2}=\dfrac{15{,}800}{26{,}000}\approx 0{,}6077.
    • Q=\dfrac{1}{3 - \dfrac{C_1}{C_2} - \dfrac{R_1}{R_2}}=\dfrac{1}{3-1-0{,}6077}=\dfrac{1}{1{,}3923}\approx 0{,}718.
  • Conclusão: com R_1=15{,}8\\ \text{k}\Omega,\\ R_2=26\\ \text{k}\Omega,\\ C_1=C_2=10\\ \text{nF} obtemos f_c\approx 786\\ \text{Hz} e Q\approx0{,}718. Está bem próximo de 800\\ \text{Hz} e do Q Butterworth (0,707). Se quiser ajustar precisamente para 800\\ \text{Hz}, troque um resistor por um trimmer para afinar, ou use capacitores mais precisos.

Passo 8

Resumo prático de montagem e notas finais (dicas de prova)
  • Conecte a topologia Sallen‑Key passa‑altas padrão (dois capacitores na entrada em série com o sinal, dois resistores na malha de realimentação para o pólo), bufferao com amplificador operacional em seguidor ( K=1).
  • Use componentes com tolerância adequada (1% ou 5%). Se os capacitores tiverem 5% e resistores 1%, a frequência real ficará próxima da calculada.
  • Para provas: mostrar os passos essenciais — igualar a função de transferência padrão, usar \omega_0=1/\sqrt{R_1R_2C_1C_2}, expressar Q e escolher simplificações práticas (por ex. C_1=C_2) — é o que garante a nota.

Resposta

C_1=C_2=10\\ \text{nF},\quad R_1=15{,}8\\ \text{k}\Omega,\quad R_2=26\\ \text{k}\Omega. \
Resultado aproximado: f_c\approx 785{,}8\\ \text{Hz},\quad Q\approx 0{,}718.

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