Equação de Autovalores, equação de Schrödinger e características
- (a) Explique o quê é uma equação de autovalores. (b) Qual é a importancia dessa equação na mecânica quantica. (c) Escreva a equação de autovalores mais importante da Física Quântica. (d) Que podemos obter a partir de uma equação de autovalores.
- A partir da equação de Schrödinger, obtenha os operadores de energia total, ou Hamiltoniana
, assim como também os operadores de energia cinética
e de momento linear
.
- Se as funções de onda
e
são três soluções da equação de Schrödinger para uma energia potencial particular
, mostre que a combinação linear arbitrária
também é uma solução desta equação. Explique o que significa fisicamente a combinação linear mostrada antes.
Passo 1
O enunciado pede três coisas principais em mecânica quântica: (1) entender o que é uma equação de autovalores, sua importância, a equação mais significativa e o que dela se extrai; (2) a partir da equação de Schrödinger, identificar os operadores de energia total
, energia cinética
e momento linear
; (3) mostrar que a equação de Schrödinger é linear e, portanto, admite superposição de soluções, e dar o sentido físico dessa combinação. Vamos usar conceitos de espaço de Hilbert, operadores lineares hermitianos e a forma canônica da equação de Schrödinger.
Passo 2
Uma equação de autovalores é uma relação do tipo
onde
é um operador linear que atua num vetor (função)
e gera o mesmo vetor multiplicado por um escalar
. Nesse caso,
é chamado autofunção (ou autovetor) e
é o autovalor (ou valor próprio) associado a
.
Passo 3
Na mecânica quântica, os observáveis físicos são representados por operadores hermitianos que agem em funções de onda no espaço de Hilbert. A equação de autovalores permite obter valores possíveis de uma grandeza mensurável (os autovalores) e as funções de onda correspondentes (as autofunções). Assim, a teoria prediz não um valor contínuo, mas um espectro discreto ou contínuo de resultados possíveis e sua probabilidade.
Passo 4
A equação de autovalores mais importante da Física Quântica é a equação de Schrödinger independente do tempo (estacionária), escrita como
onde
é o Hamiltoniano,
a autofunção de energia e
o autovalor de energia.
Passo 5
A partir dessa equação de autovalores podemos obter:
• O espectro de energias permitidas .
• As funções de onda estacionárias , que formam base ortonormal no espaço de Hilbert.
• Probabilidades de medir cada energia num estado geral.
• O espectro de energias permitidas
• As funções de onda estacionárias
• Probabilidades de medir cada energia
Passo 6
Partindo da equação de Schrödinger dependente do tempo
identificamos o operador de energia total (Hamiltoniano)
Como
e
aparecem no termo cinético, definimos
Passo 7
A equação de Schrödinger é linear: se
satisfazem
então, pela distributividade do operador,
Logo
é também solução. Fisicamente, isso expressa o princípio da superposição: um estado quântico pode ser uma combinação linear de estados básicos, e as amplitudes
determinam probabilidades de encontrar o sistema em cada autofunção.
Resposta
(1a) Uma equação de autovalores é
, com autofunção
e autovalor
.
(1b) Na QM, ela determina os valores possíveis de um observável e suas funções de onda.
(1c) A equação de Schrödinger estacionária .
(1d) Extraímos o espectro de energia e as autofunções
.
(2)
(3) Como a equação de Schrödinger é linear, qualquer combinação satisfaz a mesma equação, o que reflete o princípio da superposição de estados quânticos.
(1b) Na QM, ela determina os valores possíveis de um observável e suas funções de onda.
(1c) A equação de Schrödinger estacionária
(1d) Extraímos o espectro de energia
(2)
(3) Como a equação de Schrödinger é linear, qualquer combinação