Mostre que a função de onda \psi(x, t)=A \cos (k x- w t)+i A \operatorname{sen}(k x-w t) satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\psi(x,t)=A\cos\bigl(kx-\omega t\bigr)+iA\sin\bigl(kx-\omega t\bigr)
satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo para partícula livre, que é
i\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} =-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}.
Vamos precisar apenas calcular as derivadas parciais de \psi em relação a t e x duas vezes e verificar a igualdade, o que envolverá a relação de dispersão \hbar\omega=\hbar^{2}k^{2}/(2m).

Passo 2

Note que a combinação de cosseno e seno complexificado é exatamente a exponencial de fase. Ou seja,
\psi(x,t) = A\bigl[\cos(kx-\omega t)+i\sin(kx-\omega t)\bigr] = A\,e^{\,i\bigl(kx-\omega t\bigr)}.
Isso facilita o cálculo das derivadas.

Passo 3

Calcule a derivada temporal:
\frac{\partial\psi}{\partial t} = A\,\frac{\partial}{\partial t}e^{\,i(kx-\omega t)} = A\bigl(-i\omega\bigr)e^{\,i(kx-\omega t)} =-i\omega\,\psi.

Passo 4

Calcule a segunda derivada espacial:
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}} = A\,\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}e^{\,i(kx-\omega t)} = A\,(i k)^{2}e^{\,i(kx-\omega t)} =-k^{2}\,\psi.

Passo 5

Agora substituímos na equação de Schrödinger:
i\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} =i\hbar\bigl(-i\omega\,\psi\bigr) =\hbar\omega\,\psi,
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}} =-\frac{\hbar^{2}}{2m}\bigl(-k^{2}\,\psi\bigr) =\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\,\psi.

Passo 6

Para que as duas expressões coincidam, precisamos de
\hbar\omega =\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m},
que é justamente a relação de dispersão de uma partícula livre com energia E=\hbar\omega e momento p=\hbar k. Assim, sob essa condição,
i\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} =-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}},
isto é, \psi satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.

Resposta

A função \psi(x,t)=A\cos(kx-\omega t)+iA\sin(kx-\omega t) satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo desde que
\hbar\omega=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}.

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