Equação de Autovalores, equação de Schrödinger e características
  1. (a) Explique o quê é uma equação de autovalores. (b) Qual é a importancia dessa equação na mecânica quantica. (c) Escreva a equação de autovalores mais importante da Física Quântica. (d) Que podemos obter a partir de uma equação de autovalores.
  2. A partir da equação de Schrödinger, obtenha os operadores de energia total, ou Hamiltoniana (\widehat{H}), assim como também os operadores de energia cinética (\widehat{T}) e de momento linear (\widehat{p}).
  3. Se as funções de onda \Psi_{1}(x, t), \Psi_{2}(x, t) e \Psi_{3}(x, t) são três soluções da equação de Schrödinger para uma energia potencial particular U(x, t), mostre que a combinação linear arbitrária \Psi(x, t)= c_{1} \Psi_{1}(x, t)+c_{2} \Psi_{2}(x, t)+c_{3} \Psi_{3}(x, t) também é uma solução desta equação. Explique o que significa fisicamente a combinação linear mostrada antes.

Passo 1

O enunciado pede três coisas principais em mecânica quântica: (1) entender o que é uma equação de autovalores, sua importância, a equação mais significativa e o que dela se extrai; (2) a partir da equação de Schrödinger, identificar os operadores de energia total \widehat H, energia cinética \widehat T e momento linear \widehat p; (3) mostrar que a equação de Schrödinger é linear e, portanto, admite superposição de soluções, e dar o sentido físico dessa combinação. Vamos usar conceitos de espaço de Hilbert, operadores lineares hermitianos e a forma canônica da equação de Schrödinger.

Passo 2

Uma equação de autovalores é uma relação do tipo
\widehat A\,\varphi = a\,\varphi
onde \widehat A é um operador linear que atua num vetor (função) \varphi e gera o mesmo vetor multiplicado por um escalar a. Nesse caso, \varphi é chamado autofunção (ou autovetor) e a é o autovalor (ou valor próprio) associado a \widehat A.

Passo 3

Na mecânica quântica, os observáveis físicos são representados por operadores hermitianos que agem em funções de onda no espaço de Hilbert. A equação de autovalores permite obter valores possíveis de uma grandeza mensurável (os autovalores) e as funções de onda correspondentes (as autofunções). Assim, a teoria prediz não um valor contínuo, mas um espectro discreto ou contínuo de resultados possíveis e sua probabilidade.

Passo 4

A equação de autovalores mais importante da Física Quântica é a equação de Schrödinger independente do tempo (estacionária), escrita como
\widehat H\,\psi_n(x) = E_n\,\psi_n(x),
onde \widehat H é o Hamiltoniano, \psi_n a autofunção de energia e E_n o autovalor de energia.

Passo 5

A partir dessa equação de autovalores podemos obter:
• O espectro de energias permitidas \{E_n\}.
• As funções de onda estacionárias \{\psi_n\}, que formam base ortonormal no espaço de Hilbert.
• Probabilidades de medir cada energia E_n num estado geral.

Passo 6

Partindo da equação de Schrödinger dependente do tempo
i\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t) = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U(x,t)\right)\Psi(x,t),
identificamos o operador de energia total (Hamiltoniano)
\widehat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U(x,t).
Como \widehat p e \widehat T aparecem no termo cinético, definimos
\widehat p = -i\hbar\,\frac{\partial}{\partial x}, \qquad \widehat T = \frac{\widehat p^{2}}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\partial^2}{\partial x^2}.

Passo 7

A equação de Schrödinger é linear: se \Psi_{1},\Psi_{2},\Psi_{3} satisfazem
i\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}\Psi_{j} = \widehat H\,\Psi_{j}, \quad j=1,2,3,
então, pela distributividade do operador,
i\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}\Bigl(c_{1}\Psi_{1}+c_{2}\Psi_{2}+c_{3}\Psi_{3}\Bigr) = c_{1}\widehat H\Psi_{1}+c_{2}\widehat H\Psi_{2}+c_{3}\widehat H\Psi_{3} = \widehat H\Bigl(c_{1}\Psi_{1}+c_{2}\Psi_{2}+c_{3}\Psi_{3}\Bigr).
Logo \Psi=c_{1}\Psi_{1}+c_{2}\Psi_{2}+c_{3}\Psi_{3} é também solução. Fisicamente, isso expressa o princípio da superposição: um estado quântico pode ser uma combinação linear de estados básicos, e as amplitudes c_{j} determinam probabilidades de encontrar o sistema em cada autofunção.

Resposta

(1a) Uma equação de autovalores é \widehat A\,\varphi=a\,\varphi, com autofunção \varphi e autovalor a.
(1b) Na QM, ela determina os valores possíveis de um observável e suas funções de onda.
(1c) A equação de Schrödinger estacionária \widehat H\,\psi_n=E_n\,\psi_n.
(1d) Extraímos o espectro de energia \{E_n\} e as autofunções \{\psi_n\}.
(2) \displaystyle \widehat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U(x,t),\quad \widehat p=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x},\quad \widehat T=\frac{\widehat p^2}{2m}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}.
(3) Como a equação de Schrödinger é linear, qualquer combinação \Psi=c_{1}\Psi_{1}+c_{2}\Psi_{2}+c_{3}\Psi_{3} satisfaz a mesma equação, o que reflete o princípio da superposição de estados quânticos.

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