Mostre que a função de onda
satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo para partícula livre, que é
Vamos precisar apenas calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
duas vezes e verificar a igualdade, o que envolverá a relação de dispersão
.
Passo 2
Note que a combinação de cosseno e seno complexificado é exatamente a exponencial de fase. Ou seja,
Isso facilita o cálculo das derivadas.
Passo 3
Calcule a derivada temporal:
Passo 4
Calcule a segunda derivada espacial:
Passo 5
Agora substituímos na equação de Schrödinger:
Passo 6
Para que as duas expressões coincidam, precisamos de
que é justamente a relação de dispersão de uma partícula livre com energia
e momento
. Assim, sob essa condição,
isto é,
satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
Resposta
A função
satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo desde que