Sejam \mathbf{u}=\langle 2,-1,3\rangle, \mathbf{v}=\langle 0,1,7\rangle \mathrm{e} \mathbf{w}=\langle 1,4,5\rangle. Determine
(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times(\mathbf{v} \times \mathbf{w})

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
\mathbf{u}=\langle 2,-1,3\rangle,\qquad \mathbf{v}=\langle 0,1,7\rangle,\qquad \mathbf{w}=\langle 1,4,5\rangle.
Pede-se para determinar o vetor
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w}).
Ou seja: calcular o produto vetorial de \mathbf{u}\times\mathbf{v} com \mathbf{v}\times\mathbf{w}.

Passo 2

Plano de resolução (sem resolver ainda): existe uma identidade muito útil chamada identidade do produto vetorial triplo (ou fórmula BAC–CAB)
(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\times \mathbf{C}=(\mathbf{A}\cdot \mathbf{C})\mathbf{B}-(\mathbf{B}\cdot \mathbf{C})\mathbf{A},
que costuma simplificar bastante expressões do tipo (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\times(\cdot). Vou usá‑la porque reduz o problema a produtos escalares (mais fáceis de calcular) e, em seguida, vou verificar o resultado fazendo o cálculo direto por determinantes (prática boa para a prova). Escolhi esse método porque é mais curto e ensina uma propriedade útil que frequentemente aparece em exercícios.

Passo 3

Lembrete (aulas rápidas sobre os conceitos usados):
  • Produto vetorial: para \mathbf{a}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle e \mathbf{b}=\langle b_1,b_2,b_3\rangle, o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é um vetor perpendicular a \mathbf{a} e \mathbf{b} e pode ser calculado pelo determinante
\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] a_1 & a_2 & a_3\\[4pt] b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}.
Cada componente é uma combinação de determinantes 2\times2.
  • Produto escalar: \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
  • Produto escalar de um vetor com um produto vetorial ( \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})) é o produto misto ou produto escalar triplo, igual ao determinante da matriz formada por \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} (cada um como linha ou coluna):
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\det\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\\ b_1 & b_2 & b_3\\\ c_1 & c_2 & c_3\end{pmatrix}.
  • Observação útil: \mathbf{v}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=0 porque \mathbf{v}\times\mathbf{w} é perpendicular a \mathbf{v}.]

Passo 4

Aplicando a identidade do produto vetorial triplo com \mathbf{A}=\mathbf{u}, \mathbf{B}=\mathbf{v} e \mathbf{C}=\mathbf{v}\times\mathbf{w}, obtemos
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) =(\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}))\,\mathbf{v} -(\mathbf{v}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}))\,\mathbf{u}.
Pelo comentário acima, \mathbf{v}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=0. Assim a expressão simplifica para
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) =(\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}))\,\mathbf{v}.
Ou seja, o resultado é um escalar (o produto misto) multiplicando o vetor \mathbf{v}. Agora precisamos calcular o escalar \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}).

Passo 5

Calcular o produto escalar triplo \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) como determinante. Montando a matriz com \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} como linhas:
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) =\det\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 7\\[4pt] 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}.
Expandindo por cofactores (primeira linha):
\begin{aligned} \det &= 2\cdot\begin{vmatrix}1 & 7\\[2pt] 4 & 5\end{vmatrix} -(-1)\cdot\begin{vmatrix}0 & 7\\[2pt] 1 & 5\end{vmatrix} +3\cdot\begin{vmatrix}0 & 1\\[2pt] 1 & 4\end{vmatrix}. \end{aligned}
Agora cada determinante 2\times2:
\begin{vmatrix}1 & 7\\\\ 4 & 5\end{vmatrix}=1\cdot5-7\cdot4=5-28=-23,
\begin{vmatrix}0 & 7\\\\ 1 & 5\end{vmatrix}=0\cdot5-7\cdot1= -7,
\begin{vmatrix}0 & 1\\\\ 1 & 4\end{vmatrix}=0\cdot4-1\cdot1= -1.
Substituindo:
\det = 2\cdot(-23) -(-1)\cdot(-7) + 3\cdot(-1).
Calcule passo a passo:
2\cdot(-23)=-46,\qquad -(-1)\cdot(-7)= -7,\qquad 3\cdot(-1)=-3.
Somando:
\det = -46 -7 -3 = -56.
Portanto \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=-56.]

Passo 6

Voltando à fórmula simplificada do Passo 4:
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) =(\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}))\,\mathbf{v} =-56\,\mathbf{v}.
Como \mathbf{v}=\langle 0,1,7\rangle, multiplicando por -56 obtemos
-56\,\mathbf{v}=-56\langle 0,1,7\rangle=\langle 0,-56,-392\rangle.

Passo 7

Verificação por cálculo direto (opcional, mas bom para fixar): calcular primeiro \mathbf{u}\times\mathbf{v} e \mathbf{v}\times\mathbf{w} e depois o produto vetorial entre eles.
Calcule \mathbf{u}\times\mathbf{v}:
\mathbf{u}\times\mathbf{v}= \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\[2pt] 2&-1&3\\[2pt]0&1&7\end{vmatrix} =\langle -10,-14,2\rangle.
Calcule \mathbf{v}\times\mathbf{w}:
\mathbf{v}\times\mathbf{w}= \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\[2pt] 0&1&7\\[2pt]1&4&5\end{vmatrix} =\langle -23,7,-1\rangle.
Agora o produto vetorial entre esses dois:
\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\[2pt] -10&-14&2\\[2pt]-23&7&-1\end{vmatrix} =\langle 0,-56,-392\rangle,
o que coincide com o resultado obtido pela identidade. Boa confirmação.]

Resposta

\langle 0,-56,-392\rangle

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