Sejam \mathbf{u}=\langle 2,-1,3\rangle, \mathbf{v}=\langle 0,1,7\rangle \mathrm{e} \mathbf{w}=\langle 1,4,5\rangle. Determine
(\mathbf{v} \times \mathbf{w}) \times(\mathbf{u} \times \mathbf{v})

Passo 1

O enunciado dá três vetores no espaço tridimensional e pede para calcular uma combinação de produtos vetoriais. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Vetores fornecidos:
    • \mathbf{u}=\langle 2,-1,3\rangle
    • \mathbf{v}=\langle 0,1,7\rangle
    • \mathbf{w}=\langle 1,4,5\rangle
  • O que se pede: calcular
    (\mathbf{v}\times\mathbf{w})\times(\mathbf{u}\times\mathbf{v}).
Não há outras informações escondidas: é uma conta direta com produtos vetoriais. A partir daqui vou explicar como calcular cada produto vetorial passo a passo e, em seguida, o produto vetorial final.

Passo 2

Lembrete didático sobre produto vetorial (crucial aqui).
  • Definição prática: o produto vetorial de dois vetores \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) é o vetor \mathbf{a}\times\mathbf{b} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] a_1 & a_2 & a_3\\[4pt] b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix},onde \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os vetores unitários das direções x,y,z.
  • Para aplicar na prática, calcula-se componentes por determinantes menores: \mathbf{a}\times\mathbf{b} =\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1\bigr).Ou seja:
    • primeira componente: a_2b_3-a_3b_2,
    • segunda: a_3b_1-a_1b_3,
    • terceira: a_1b_2-a_2b_1.
  • Propriedades úteis que podem aparecer:
    • Anti-comutatividade: \mathbf{a}\times\mathbf{b} = -(\mathbf{b}\times\mathbf{a}).
    • \mathbf{a}\times\mathbf{b} é perpendicular a \mathbf{a} e a \mathbf{b}.
    • Produto vetorial é bilinear (distribui em soma e fator constante sai para fora).
Vou usar a fórmula componente a componente para calcular \mathbf{v}\times\mathbf{w} e \mathbf{u}\times\mathbf{v}, e depois aplicar de novo para o produto final.]

Passo 3

Calcular \mathbf{v}\times\mathbf{w} usando a fórmula componente a componente. Aqui
\mathbf{v}=(0,1,7) e \mathbf{w}=(1,4,5).
  • Primeira componente: v_2 w_3 - v_3 w_2 = 1\cdot5 - 7\cdot4 = 5 - 28 = -23.
  • Segunda componente: v_3 w_1 - v_1 w_3 = 7\cdot1 - 0\cdot5 = 7 - 0 = 7.
  • Terceira componente: v_1 w_2 - v_2 w_1 = 0\cdot4 - 1\cdot1 = 0 - 1 = -1.
Portanto
\mathbf{v}\times\mathbf{w}=\langle -23,\,7,\,-1\rangle.

Passo 4

Calcular \mathbf{u}\times\mathbf{v}. Aqui \mathbf{u}=(2,-1,3) e \mathbf{v}=(0,1,7).
  • Primeira componente: u_2 v_3 - u_3 v_2 = (-1)\cdot7 - 3\cdot1 = -7 - 3 = -10.
  • Segunda componente: u_3 v_1 - u_1 v_3 = 3\cdot0 - 2\cdot7 = 0 - 14 = -14.
  • Terceira componente: u_1 v_2 - u_2 v_1 = 2\cdot1 - (-1)\cdot0 = 2 - 0 = 2.
Portanto
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\langle -10,\,-14,\,2\rangle.

Passo 5

Agora calculamos o produto vetorial final
(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\times(\mathbf{u}\times\mathbf{v})
usando os vetores encontrados:
\mathbf{A}=\mathbf{v}\times\mathbf{w}=\langle -23,7,-1\rangle e
\mathbf{B}=\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\langle -10,-14,2\rangle.
Aplicando a fórmula componente a componente para \mathbf{A}\times\mathbf{B}:
  • Primeira componente: A_2 B_3 - A_3 B_2 = 7\cdot2 - (-1)\cdot(-14) = 14 - 14 = 0.
  • Segunda componente: A_3 B_1 - A_1 B_3 = (-1)\cdot(-10) - (-23)\cdot2 = 10 - (-46) = 10 + 46 = 56.Observe que, seguindo a fórmula padrão, a segunda componente veio positiva 56.
  • Terceira componente: A_1 B_2 - A_2 B_1 = (-23)\cdot(-14) - 7\cdot(-10) = 322 - (-70) = 322 + 70 = 392.(Aqui 23\cdot14=322.)
Assim
(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\times(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=\langle 0,\,56,\,392\rangle.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida (didática e para ganhar confiança).
  • Note que \langle 0,56,392\rangle = 56\langle 0,1,7\rangle. Mas \langle 0,1,7\rangle é exatamente \mathbf{v}. Logo o resultado é um múltiplo escalar de \mathbf{v}: (\mathbf{v}\times\mathbf{w})\times(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) = 56\,\mathbf{v}.
  • Verificação por produto escalar: calculei \mathbf{R}=\langle 0,56,392\rangle e \mathbf{v}=\langle 0,1,7\rangle. \mathbf{R}\cdot\mathbf{v} = 0\cdot0 + 56\cdot1 + 392\cdot7 = 56 + 2744 = 2800,e \mathbf{v}\cdot\mathbf{v} = 0^2+1^2+7^2 = 1+49 = 50.Então o escalar que multiplica \mathbf{v} é 2800/50=56, confirmando \mathbf{R}=56\mathbf{v}.
Pronto — feito e verificado. Se na prova você fizer essas contas passo a passo com atenção aos sinais (os pontos de erro mais comuns são sinais e pequenos produtos), vai dar certo.

Resposta

\langle 0,\,56,\,392\rangle

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