O enunciado dá três vetores no espaço tridimensional e pede para calcular uma combinação de produtos vetoriais. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
Não há outras informações escondidas: é uma conta direta com produtos vetoriais. A partir daqui vou explicar como calcular cada produto vetorial passo a passo e, em seguida, o produto vetorial final.
Passo 2
Lembrete didático sobre produto vetorial (crucial aqui).
Definição prática: o produto vetorial de dois vetores \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) é o vetor\mathbf{a}\times\mathbf{b} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] a_1 & a_2 & a_3\\[4pt] b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix},onde \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os vetores unitários das direções x,y,z.
Para aplicar na prática, calcula-se componentes por determinantes menores:\mathbf{a}\times\mathbf{b} =\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1\bigr).Ou seja:
\mathbf{a}\times\mathbf{b} é perpendicular a \mathbf{a} e a \mathbf{b}.
Produto vetorial é bilinear (distribui em soma e fator constante sai para fora).
Vou usar a fórmula componente a componente para calcular \mathbf{v}\times\mathbf{w} e \mathbf{u}\times\mathbf{v}, e depois aplicar de novo para o produto final.]
Passo 3
Calcular \mathbf{v}\times\mathbf{w} usando a fórmula componente a componente. Aqui \mathbf{v}=(0,1,7) e \mathbf{w}=(1,4,5).
usando os vetores encontrados: \mathbf{A}=\mathbf{v}\times\mathbf{w}=\langle -23,7,-1\rangle e \mathbf{B}=\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\langle -10,-14,2\rangle.
Aplicando a fórmula componente a componente para \mathbf{A}\times\mathbf{B}:
Interpretação e verificação rápida (didática e para ganhar confiança).
Note que \langle 0,56,392\rangle = 56\langle 0,1,7\rangle. Mas \langle 0,1,7\rangle é exatamente \mathbf{v}. Logo o resultado é um múltiplo escalar de \mathbf{v}:(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\times(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) = 56\,\mathbf{v}.
Verificação por produto escalar: calculei \mathbf{R}=\langle 0,56,392\rangle e \mathbf{v}=\langle 0,1,7\rangle.\mathbf{R}\cdot\mathbf{v} = 0\cdot0 + 56\cdot1 + 392\cdot7 = 56 + 2744 = 2800,e\mathbf{v}\cdot\mathbf{v} = 0^2+1^2+7^2 = 1+49 = 50.Então o escalar que multiplica \mathbf{v} é 2800/50=56, confirmando \mathbf{R}=56\mathbf{v}.
Pronto — feito e verificado. Se na prova você fizer essas contas passo a passo com atenção aos sinais (os pontos de erro mais comuns são sinais e pequenos produtos), vai dar certo.