A equação de Bessel de ordem nu é da seguinte forma:
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-nu^2) y=0
© Utilizando novamente a relação de recorrência determine a2, a4, a6, a8 e a10 em função de a0. A partir do método de indução conclua que
a2 n=(-1)^n(2 n+3) cdot(2 n+1) cdot(2 n-1) cdots 7 cdot 5 cdot 2 n cdots 4 cdot 2

Passo 1

Na parte © queremos achar os coeficientes pares da solução em série da equação de Bessel de ordem nu=1, ou seja, estamos olhando para a solução regular em x=0 (função de Bessel J1(x)). Nas partes anteriores obteve-se a relação de recorrência entre os coeficientes ak.

Passo 2

Para nu=1 encontramos que o expoente na série é m=1 e a relação de recorrência fica
ak+2=-ak(k+2)^2-1=-ak(k+1)(k+3)

Passo 3

Como queremos a solução regular tomamos a1=0 e mantemos a0 arbitrário; assim todos os coeficientes ímpares são nulos e calculamos só os pares:
Para n=0 (isto é, k=0)
a2=-a01cdot3,
Para n=1 (isto é, k=2)
a4=-a23cdot5=a01cdot3cdot3cdot5,
Para n=2 (isto é, k=4)
a6=-a45cdot7=-a01cdot3cdot3cdot5cdot5cdot7,
Para n=3 (isto é, k=6)
a8=-a67cdot9=a01cdot3cdot3cdot5cdot5cdot7cdot7cdot9,
Para n=4 (isto é, k=8)

Passo 4

Observando o padrão vemos que a cada passo surgem dois fatores ímpares novos no denominador:
a2n=(-1)^n,a0prodj=0^n-1l[(2j+1)(2j+3)r]

Passo 5

Reescrevendo esse produto em termos de duplos fatoriais (onde (2n)!!=2ncdot(2n-2)cdots2 e (2n+3)!!=(2n+3)(2n+1)cdots1) obtemos a forma solicitada.

Resposta

a2n=(-1)^n(2n+3),(2n+1),(2n-1)cdots7cdot5;2n,(2n-2)cdots4cdot2,a0

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