A equação
2 x y^prime prime+y^prime+x y=0
possui um ponto singular regular em x=0.
(a) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial. Res: r(2 r-1)=0 Rightarrow r1=12 e r2=0 ; an=-an-2(n+r)[2(n+r)-1].

Passo 1

O enunciado pede a equação indicial, as raízes dessa equação e a relação de recorrência para a EDO com ponto singular regular em x=0: 2x y’’+y’+x y=0. Para isso vamos usar o método de Frobenius, que supõe uma solução em série da forma y=∑a_n x^{n+r}.

Passo 2

Assumimos y= sumn=0^infty an x^n+r e calculamos as derivadas: y’= sumn=0^infty (n+r)an x^n+r-1, y’’= sumn=0^infty (n+r)(n+r-1)an x^n+r-2.

Passo 3

Substituindo em 2x y’’+y’+x y=0 e alinhando potências de x^{r-1}, o coeficiente de x^{r-1} dá:
2r(r-1)a0+r a0= r(2r-1)a0=0

Passo 4

Daí a equação indicial r(2r-1)=0, cujas raízes são r_1=1/2 e r_2=0.

Passo 5

Para o termo geral x^{n+r-1} com n≥2, coletamos:
2(n+r)(n+r-1)an+(n+r)an+an-2=0,

Passo 6

que simplifica para
(n+r)[2(n+r)-1]an + an-2=0 e, portanto, a relação de recorrência é:
an = -an-2(n+r)[2(n+r)-1], n>=2

Resposta

A equação indicial é r(2r-1)=0, com raízes r_1=1/2 e r_2=0; a relação de recorrência geral é a_n = -\frac{a_{n-2}}{(n+r)[2(n+r)-1]}.

Exercícios relacionados