A equação
possui um ponto singular regular em
.
(a) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial. Res:
e
.
(a) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial. Res:
Passo 1
O enunciado pede a equação indicial, as raízes dessa equação e a relação de recorrência para a EDO com ponto singular regular em x=0: 2x y’’+y’+x y=0. Para isso vamos usar o método de Frobenius, que supõe uma solução em série da forma y=∑a_n x^{n+r}.
Passo 2
Assumimos y=
e calculamos as derivadas: y’=
, y’’=
.
Passo 3
Substituindo em 2x y’’+y’+x y=0 e alinhando potências de x^{r-1}, o coeficiente de x^{r-1} dá:
Passo 4
Daí a equação indicial r(2r-1)=0, cujas raízes são r_1=1/2 e r_2=0.
Passo 5
Para o termo geral x^{n+r-1} com n≥2, coletamos:
Passo 6
que simplifica para
Resposta
A equação indicial é r(2r-1)=0, com raízes r_1=1/2 e r_2=0; a relação de recorrência geral é a_n = -\frac{a_{n-2}}{(n+r)[2(n+r)-1]}.