A equação de Bessel de ordem nu é da seguinte forma:
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-nu^2) y=0
(b) Determine a relação de recorrência associada a raiz referente a y1(x). Baseado neste resultado e no desenvolvimento geral do método de Frobenius mostre que os coeficientes ímpares a1, a3, a5, … são todos nulos. Res: an=-an-2n(n+3) para n >= 2.

Passo 1

Na questão, temos a equação de Bessel de ordem 3/2
x^2y''+xy'+(x^2-nu^2)y=0. O objetivo é usar o método de Frobenius para a raiz r=nu=3/2 e encontrar a relação de recorrência entre os coeficientes an da série solução de y1(x), além de mostrar que os coeficientes ímpares são zero. Vamos precisar expressar y, y', y'' como séries e combinar potências de x.

Passo 2

Assumimos a solução de Frobenius
y1(x)=sumn=0^inftyanx^n+r, r=tfrac32
Então
y'1(x)=sumn=0^infty(n+r)anx^n+r-1,
y''1(x)=sumn=0^infty(n+r)(n+r-1)anx^n+r-2

Passo 3

Substituímos estas séries na equação de Bessel:
sumn=0^infty(n+r)(n+r-1)anx^n+r+sumn=0^infty(n+r)anx^n+r+sumn=0^inftyanx^n+r+2-sumn=0^inftynu^2anx^n+r=0
Note que juntamos o x^2y'' via mudança de índice para ficar todas somas em x^n+r.

Passo 4

Juntando os dois primeiros somatórios e o termo -nu^2y obtemos
sumn=0^inftyl((n+r)^2-nu^2r)anx^n+r+sumn=0^inftyanx^n+r+2=0
Para igualar as potências, reindexamos o segundo somatório com m=n+2:
sumn=0^inftyl((n+r)^2-nu^2r)anx^n+r+sumn=2^inftyan-2x^n+r=0

Passo 5

Como a soma deve ser zero para toda x, cada coeficiente em x^n+r satisfaz
l((n+r)^2-nu^2r)an+an-2=0, n>=2
Isolando an e lembrando que r=nu=3/2 leva a (n+tfrac32)^2-(tfrac32)^2=n(n+3).

Passo 6

A relação de recorrência fica então
an=-an-2n(n+3), n>=2
Para n=1, temos (1+r)^2-nu^2=4, logo a1=0. Como cada coeficiente ímpar depende de a1, todos os a2k+1 são nulos.

Resposta

an=-dfracan-2n(n+3), n>=2

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