Encontre a solução de cada PVI:
ly^(3)-2 y^prime prime=0 y(0)=y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=32.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) de ordem 3 com coeficientes constantes:
– Equação diferencial: y^(3) - 2y'' = 0
– Condições iniciais: y(0)=0, y'(0)=0, y''(0)=32
Vamos usar o método da equação característica e depois ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Para achar a solução geral, montamos a equação característica associada à equação diferencial, trocando y^(k) por r^k. Assim, temos:
r^3 - 2r^2 = 0
Resolvendo, fatoramos:
r^2 (r - 2) = 0
Então as raízes são r=0 (dupla) e r=2.

Passo 3

Como as raízes são r=0 com multiplicidade 2 e r=2 simples, a solução geral é combinação linear das soluções independentes 1, x e e^2x. Logo:
y(x) = C1 + C2 x + C3 e^2x

Passo 4

Precisamos de y'(x) e y''(x) para aplicar as condições iniciais. Derivando:
y'(x) = C2 + 2C3 e^2x
y''(x) = 4C3 e^2x

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais:
  1. y(0)=0 C1 + C3 = 0
  2. y'(0)=0 C2 + 2C3 = 0
  3. y''(0)=32 4C3 = 32
Da terceira: C3 = 8. Substituindo nas outras: C1 = -C3 = -8 e C2 = -2C3 = -16.

Passo 6

Substituindo C1, C2, C3 na solução geral, obtemos:
y(x) = -8 , -16x + 8 e^2x
que é a solução do PVI.

Resposta

y(x) = -8 - 16x + 8e^2x

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