A equação
possui um ponto singular regular em
.
(b) Mostre que existem duas soluções em série em torno de
(linearmente independentes) dadas por
(b) Mostre que existem duas soluções em série em torno de
Passo 1
Temos a equação diferencial 2x y’’ + y’ + x y = 0, que ao ser escrita na forma padrão y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0 fica com p(x)=1/(2x) e q(x)=1/2. Como p(x) tem polo simples em x=0 e q(x) é analítica, x=0 é ponto singular regular e podemos usar o método de Frobenius.
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo y(x)=Σ_{n=0}^∞ a_n x^{n+r}. Calculamos y’ e y’’, substituímos na equação original e igualamos coeficientes de x^{n+r-1} a zero para obter as relações entre a_n e o expoente r.
Passo 3
O coeficiente do menor expoente x^{r-1} dá a equação indicial r(2r−1)a_0=0. Como a_0≠0, segue r(2r−1)=0, cujas raízes são r_1=0 e r_2=1/2.
Passo 4
Para n≥2, obtemos a relação de recorrência
ou seja
Passo 5
No caso r=1/2 (primeira raiz), vemos que a_1 = 0 e por recorrência todos os a_{odd}=0. Para n=2 e r=1/2 temos a_2 = -a_0/[(2.5)(4)]= -1/(2⋅5), em seguida a_4=1/(2⋅4⋅5⋅9) etc., gerando
Passo 6
No caso r=0 (segunda raiz), a_1=0 e novamente só aparecem termos pares. Para n=2 obtemos a_2= -a_0/(2⋅3)= -1/(2⋅3), depois a_4=1/(2⋅4⋅3⋅7) etc., gerando
Resposta
As soluções em série são