A equação
x^2 y^prime prime+y^prime-y=0
possui um ponto singular regular em x=0.
(b) Encontre os três primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções linearmente independentes em torno do ponto singular. Res: y1(x)=1+x+14 x^2+ldots e y2(x)=y1(x) ln x-2 x- 34 x^2+ldots.

Passo 1

Temos a EDO
x^2 y'' + y' - y = 0
que apresenta um ponto singular em x=0. O conteúdo aqui é o método de Frobenius, que nos permite procurar soluções em série de potências generalizada em torno de x=0.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma
y(x) = sumn=0^infty an x^n+r,
com a0 neq 0. Calculamos as derivadas:
y'(x) = sumn=0^infty (n+r),an,x^n+r-1, y''(x) = sumn=0^infty (n+r)(n+r-1),an,x^n+r-2

Passo 3

Substituímos no LHS de
x^2 y'' + y' - y = 0
e reagrupamos potências de x. O termo de menor potência é x^r-1, cuja equação indicial fica
r^2,a0 = 0 implies r = 0

Passo 4

Para potências x^n+r com n>= 0, obtemos a relação de recorrência:
(n+1+r)^2,an+1 - an = 0 implies an+1 = an(n+1+r)^2
Como r=0, isso vira
an+1 = an(n+1)^2

Passo 5

A partir de a0 arbitrário (escolhendo a0 = 1), calculamos os primeiros coeficientes:
a1 = a01^2 = 1, a2 = a12^2 = 14

Passo 6

Com esses coeficientes, a primeira solução fica
y1(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + cdots = 1 + x + tfrac14x^2 + ldots

Passo 7

Para obter a segunda solução linearmente independente, usamos o método de redução de ordem. A forma padrão é
y'' + p(x),y' + q(x),y = 0,
e dividindo nossa equação por x temos
y'' + tfrac1xy' - tfrac1xy = 0,
logo p(x) = 1/x. A fórmula diz:
y2(x) = y1(x)integral e^-integral p(x),dxy1(x)^2,dx

Passo 8

Calculamos:
e^-integral p(x),dx = e^-integral 1xdx = 1x
Então o integrando é
1x,y1(x)^2
Expandimos
y1(x)^2 = (1 + x + tfrac14x^2 + ldots)^2 = 1 + 2x + tfrac32x^2 + ldots,
e invertemos:
1y1(x)^2 = 1 - 2x + tfrac52x^2 + ldots
Isso dá
1x,y1(x)^2 = 1x - 2 + tfrac52x + ldots

Passo 9

Integrando e multiplicando por y1(x) obtemos
integral l(tfrac1x - 2 + tfrac52x + ldotsr),dx = ln x - 2x + tfrac54x^2 + ldots,
logo
y2(x) = y1(x)l(ln x - 2x + tfrac54x^2 + ldotsr)

Passo 10

Fazendo a multiplicação até O(x^2):
-2x em y1 -2x -2x^2 e
tfrac54x^2 em y1 tfrac54x^2, somando os termos de ordem x e x^2 resulta em -2x - tfrac34x^2. Portanto
y2(x) = y1(x)ln x - 2x - tfrac34x^2 + ldots

Resposta

As duas soluções, com os três primeiros termos não nulos, são:
y1(x) = 1 + x + tfrac14x^2 + ldots e y2(x) = y1(x)ln x - 2x - tfrac34x^2 + ldots.

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