A equação
possui um ponto singular regular em
.
(b) Encontre os três primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções linearmente independentes em torno do ponto singular. Res:
e
.
(b) Encontre os três primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções linearmente independentes em torno do ponto singular. Res:
Passo 1
Temos a EDO
que apresenta um ponto singular em
. O conteúdo aqui é o método de Frobenius, que nos permite procurar soluções em série de potências generalizada em torno de
.
Passo 2
Assumimos uma solução da forma
com
. Calculamos as derivadas:
Passo 3
Substituímos no LHS de
e reagrupamos potências de
. O termo de menor potência é
, cuja equação indicial fica
Passo 4
Para potências
com
, obtemos a relação de recorrência:
Como
, isso vira
Passo 5
A partir de
arbitrário (escolhendo
), calculamos os primeiros coeficientes:
Passo 6
Com esses coeficientes, a primeira solução fica
Passo 7
Para obter a segunda solução linearmente independente, usamos o método de redução de ordem. A forma padrão é
e dividindo nossa equação por
temos
logo
. A fórmula diz:
Passo 8
Calculamos:
Então o integrando é
Expandimos
e invertemos:
Isso dá
Passo 9
Integrando e multiplicando por
obtemos
logo
Passo 10
Fazendo a multiplicação até
:
em
dá
e
em
dá
, somando os termos de ordem
e
resulta em
. Portanto
Resposta
As duas soluções, com os três primeiros termos não nulos, são: