A equação
y^prime prime-2 x y^prime+lambda y=0, -infty<x<infty,
em que lambda é constante, é conhecida como a Equação de Hermite.
(a) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das soluções em torno de x=0 e mostre que elas formam um conjunto fundamental de soluções.
(b) Note que, se lambda for um inteiro par não negativo, então uma ou outra das soluções em série termina e torna-se um polinômio.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Hermite
y'' - 2x,y' + lambda,y = 0, -infty<x<infty,
por séries em torno de x=0. Precisamos usar um desenvolvimento em potência
y(x)=sumn=0^infty an,x^n
e obter a recorrência para os coeficientes an. Em seguida, exibiremos as duas soluções (uma par e outra ímpar), calcularemos os quatro primeiros termos não nulos de cada uma e mostraremos que são linearmente independentes, formando um conjunto fundamental. Por fim, veremos que, para lambda=2n (inteiro par não negativo), uma das séries interrompe-se, gerando um polinômio.

Passo 2

Assumimos
y(x)=sumn=0^infty an,x^n, y'(x)=sumn=1^infty n,an,x^n-1, y''(x)=sumn=2^infty n(n-1),an,x^n-2
Substituindo em y''-2x,y'+lambda y=0 e igualando coeficiente de x^k a zero, obtemos
(k+2)(k+1),ak+2 ;-;2k,ak;+;lambda,ak ;=;0,
ou seja a recorrência
ak+2 ;=;2k-lambda(k+2)(k+1),ak, k>=0
Como essa relação conecta ak+2 a ak, surgem duas séries independentes, a dos termos de ordem par (definida por a0) e a dos termos de ordem ímpar (definida por a1).

Passo 3

Vamos calcular os quatro primeiros termos não nulos de cada solução.
Solução par ( a0neq0, tomamos a0=1):
a2=2cdot0-lambda2cdot1,a0 =-lambda2, a4=2cdot2-lambda4cdot3,a2 =-lambda(4-lambda)24,
a6=2cdot4-lambda6cdot5,a4 =-lambda(4-lambda)(8-lambda)720, a8=cdots
Logo a série par até o termo x^6 é
yrm par(x) =1 -lambda2,x^2 -lambda(4-lambda)24,x^4 -lambda(4-lambda)(8-lambda)720,x^6+cdots
Solução ímpar ( a1neq0, tomamos a1=1):
a3=2cdot1-lambda3cdot2 =2-lambda6, a5=2cdot3-lambda5cdot4,a3 =(2-lambda)(6-lambda)120,
a7=2cdot5-lambda7cdot6,a5 =(2-lambda)(6-lambda)(10-lambda)5040, a9=cdots
Até x^7 fica
yrm ímpar(x) =x +2-lambda6,x^3 +(2-lambda)(6-lambda)120,x^5 +(2-lambda)(6-lambda)(10-lambda)5040,x^7+cdots í
Como uma é par e a outra é ímpar, o Wronskiano em x=0 satisfaz W(0)=a0cdot a1neq0, garantindo independência linear—portanto formam conjunto fundamental de soluções.

Passo 4

Observando a recorrência
ak+2=2k-lambda(k+2)(k+1),ak,
se lambda=2n com n inteiro não negativo, para k=n o numerador 2n-lambda=0 zera an+2 e, por indução, todos os coeficientes de ordem superior também são zero. Logo a série interrompe-se em grau n, tornando-se um polinômio de grau n.

Resposta

A solução geral em potência é combinação linear de
yrm par(x) =1 -lambda2,x^2 -lambda(4-lambda)24,x^4 -lambda(4-lambda)(8-lambda)720,x^6+cdots
e
yrm ímpar(x) =x +2-lambda6,x^3 +(2-lambda)(6-lambda)120,x^5 +(2-lambda)(6-lambda)(10-lambda)5040,x^7+cdots í
Para lambda=2n, uma das séries (par se n par, ímpar se n ímpar) interrompe-se num polinômio de grau n.

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