A equação
em que
é constante, é conhecida como a Equação de Hermite.
(a) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das soluções em torno de
e mostre que elas formam um conjunto fundamental de soluções.
(b) Note que, se
for um inteiro par não negativo, então uma ou outra das soluções em série termina e torna-se um polinômio.
(a) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das soluções em torno de
(b) Note que, se
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Hermite
por séries em torno de
. Precisamos usar um desenvolvimento em potência
e obter a recorrência para os coeficientes
. Em seguida, exibiremos as duas soluções (uma par e outra ímpar), calcularemos os quatro primeiros termos não nulos de cada uma e mostraremos que são linearmente independentes, formando um conjunto fundamental. Por fim, veremos que, para
(inteiro par não negativo), uma das séries interrompe-se, gerando um polinômio.
Passo 2
Assumimos
Substituindo em
e igualando coeficiente de
a zero, obtemos
ou seja a recorrência
Como essa relação conecta
a
, surgem duas séries independentes, a dos termos de ordem par (definida por
) e a dos termos de ordem ímpar (definida por
).
Passo 3
Vamos calcular os quatro primeiros termos não nulos de cada solução.
Solução par (
, tomamos
):
Logo a série par até o termo
é
Solução ímpar (
, tomamos
):
Até
fica
Como uma é par e a outra é ímpar, o Wronskiano em
satisfaz
, garantindo independência linear—portanto formam conjunto fundamental de soluções.
Passo 4
Observando a recorrência
se
com
inteiro não negativo, para
o numerador
zera
e, por indução, todos os coeficientes de ordem superior também são zero. Logo a série interrompe-se em grau
, tornando-se um polinômio de grau
.
Resposta
A solução geral em potência é combinação linear de
e
Para
, uma das séries (par se
par, ímpar se
ímpar) interrompe-se num polinômio de grau
.