[Equação de Cauchy-Euler] (a) Usando o chute y(t)=t^{T}, encontre duas soluções linearmente independentes para a equação diferencial t^{2} y^{\prime \prime}(t)-2 y(t)=0; (b) Confirme que, de fato, as funções obtidas no item anterior são linearmente independentes, mostrando que seu Wronskiano não assume o valor zero para qualquer t \neq 0.

Passo 1

O enunciado é a equação diferencial de Euler
t^{2}y''(t)-2\,y(t)=0,
onde t\neq0. O conteúdo aqui é a equação de Cauchy–Euler, para a qual usamos o chute do tipo
y(t)=t^{T}.

Passo 2

Substituindo y(t)=t^{T} na equação, temos
y'(t)=T\,t^{T-1},\qquad y''(t)=T(T-1)\,t^{T-2}.
Logo
t^{2}y''-2y = t^{2}\bigl[T(T-1)\,t^{T-2}\bigr]-2\,t^{T} =\bigl[T(T-1)-2\bigr]t^{T}.
Para satisfazer a equação diferencial, o fator entre colchetes deve ser zero, levando à equação característica.

Passo 3

A equação característica é
T(T-1)-2=0 \quad\Longleftrightarrow\quad T^{2}-T-2=0.
Resolvendo-a, obtemos
T=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2} =\frac{1\pm3}{2},
logo os expoentes são
T_{1}=2 \quad\text{e}\quad T_{2}=-1.
As duas soluções independentes são
y_{1}(t)=t^{2}, \quad y_{2}(t)=t^{-1}.

Passo 4

Para confirmar que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes, calculamos o Wronskiano
W(t) = \begin{vmatrix} y_{1}(t) & y_{2}(t) \\\ \left[6pt\right] y_{1}'(t) & y_{2}'(t) \end{vmatrix}.
Como
y_{1}'(t)=2\,t,\qquad y_{2}'(t)=-t^{-2},
temos
W(t) = \begin{vmatrix} t^{2} & t^{-1} \\\\ 2\,t & -t^{-2} \end{vmatrix} = t^{2}\bigl(-t^{-2}\bigr) \;-\; t^{-1}\bigl(2\,t\bigr) = -1 \;-\; 2 = -3.
Como W(t)=-3\neq0 para todo t\neq0, as soluções são de fato linearmente independentes.

Resposta

As duas soluções são
y_{1}(t)=t^{2}, \quad y_{2}(t)=t^{-1},
e seu Wronskiano vale W(t)=-3\neq0 para t\neq0, garantindo a independência linear.

Exercícios relacionados