Use o método da variação dos parâmetros (Lagrange) para determinar a solução do PVI não homogêneo:
\left\{\begin{aligned} y^{\prime \prime}(t)+y(t) & =\operatorname{sec} (t) \\\ y(0) & =1 \\\ y^{\prime}(0) & =0 \end{aligned}\right.
Sugestão: considere y_{p}(t)=A(t) \cos (t)+B(t) \operatorname{sen}(t) e, após inserir na equação diferencial e assumir que A^{\prime}(t) \cos (t)+B^{\prime}(t) \operatorname{sen}(t)=0, obtenha uma segunda equação envolvendo A^{\prime}(t) e B^{\prime}(t). Resolva por Cramer, obtendo A^{\prime}(t) e B^{\prime}(t), e depois integre em t, obtendo assim A(t) e B(t).

Passo 1

O problema pede a solução do PVI
\begin{cases} y''(t)+y(t)=\operatorname{sec}(t),\\\ y(0)=1,\\\ y'(0)=0, \end{cases}
usando o método da variação dos parâmetros (Lagrange). Vamos precisar das soluções da equação homogênea associada e depois buscar uma particular da forma
\;y_p(t)=A(t)\cos(t)+B(t)\sin(t).

Passo 2

A equação homogênea é
y''+y=0,
cuja base de soluções é \cos(t) e \sin(t). Logo a solução geral homogênea é
y_h(t)=C_1\cos(t)+C_2\sin(t).

Passo 3

Para variar os parâmetros, assumimos
y_p(t)=A(t)\cos(t)+B(t)\sin(t)
e impomos a condição auxiliar
A'(t)\cos(t)+B'(t)\sin(t)=0,
para simplificar o cálculo de y_p''.

Passo 4

Substituindo y_p em y''+y=\operatorname{sec}(t) e usando a condição auxiliar, obtemos o sistema para A' e B':
\begin{cases} A'(t)\cos(t)+B'(t)\sin(t)=0,\\\\ -A'(t)\sin(t)+B'(t)\cos(t)=\operatorname{sec}(t). \end{cases}

Passo 5

O determinante principal deste sistema é
\cos^2(t)+\sin^2(t)=1.
Pelo método de Cramer:
A'(t)=\frac{\begin{vmatrix}0 & \sin(t)\\\ \operatorname{sec}(t) & \cos(t)\end{vmatrix}}{1} =-\sin(t)\,\operatorname{sec}(t)=-\tan(t),
B'(t)=\frac{\begin{vmatrix}\cos(t) & 0\\\\ -\sin(t) & \operatorname{sec}(t)\end{vmatrix}}{1} =\cos(t)\,\operatorname{sec}(t)=1.

Passo 6

Integramos para achar A(t) e B(t):
A(t)=\int -\tan(t)\,dt=\ln\bigl|\cos(t)\bigr|+K_1,
B(t)=\int 1\,dt=t+K_2.
Os termos K_1 e K_2 podem ser absorvidos na solução homogênea.

Passo 7

A solução geral do PVI é
y(t)=C_1\cos(t)+C_2\sin(t) +\cos(t)\,\ln\bigl(\cos(t)\bigr)+t\,\sin(t).

Passo 8

Aplicamos as condições iniciais:
\;y(0)=1
1=C_1\cdot1 + C_2\cdot0 + \ln(1)\cdot1 + 0 \;\Longrightarrow\;C_1=1.
\;y'(0)=0
y'(t)=-C_1\sin(t)+C_2\cos(t) -\sin(t)\ln\bigl(\cos(t)\bigr)+t\cos(t),
em t=0 isso vira 0=C_2, logo C_2=0.

Resposta

\boxed{y(t)=\cos(t)\,\bigl[1+\ln\bigl(\cos(t)\bigr)\bigr]+t\,\sin(t).}

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