Método de Frobenius] Considere a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis: 3 t y^{\prime \prime}(t)+2 y^{\prime}(t)-4 y(t)=0. (a) Mostre que t=0 é um ponto singular regular; (b) Usando o chute t^{r} \sum_{n=0}^{\infty} Y_{n} t^{n}, mostre que os dois possíveis valores para r são r=1 / 2 e r=-1. (c) Encontre os valores de Y_{0}, Y_{2}, Y_{4}, Y_{6} e Y_{8} para a solução (aproximada) correspondente a r=-1, ou seja, ache
y(t) \approx \frac{1}{t} \times\left(Y_{0}+Y_{2} t^{2}+Y_{4} t^{4}+Y_{6} t^{6}+Y_{8} t^{8}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
3\,t\,y''(t) \;+\;2\,y'(t)\;-\;4\,y(t)\;=\;0
e pede:
a) mostrar que t=0 é ponto singular regular;
b) usar Frobenius com y(t)=t^r\sum_{n=0}^\infty Y_n\,t^n e obter os dois valores de r;
c) para a solução com r=-1, calcular Y_0,Y_2,Y_4,Y_6,Y_8.
Para resolver vamos primeiro escrever a equação na forma padrão
y'' + p(t)\,y' + q(t)\,y = 0
e identificar a natureza de t=0, depois montar o indicial e a recorrência de Frobenius.

Passo 2

Colocando em forma padrão, dividimos a equação original por 3t:
y''(t) \;+\;\frac{2}{3t}\,y'(t)\;-\;\frac{4}{3t}\,y(t)=0.
Logo
p(t)=\frac{2}{3t}, \quad q(t)=-\frac{4}{3t}\,.
Vemos que p(t) e q(t) têm pólo de ordem no máximo 1 em t=0. Mais precisamente,
\lim_{t\to0} t\,p(t)=\tfrac{2}{3} e \lim_{t\to0}t^{2}q(t)=0,
ambos finitos. Portanto t=0 é ponto singular regular.

Passo 3

Para aplicar Frobenius escrevemos
y(t)=\sum_{n=0}^\infty Y_n\,t^{n+r}, \quad y'(t)=\sum_{n=0}^\infty (n+r)\,Y_n\,t^{n+r-1}, \quad y''(t)=\sum_{n=0}^\infty (n+r)(n+r-1)\,Y_n\,t^{n+r-2}.
Substituindo em 3t\,y''+2y'-4y=0 e igualando as potências de t^{n+r-1}, obtemos o indicial (caso n=0):
3\,r(r-1)\;+\;2\,r \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad r\bigl(3r-1\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad r=0 \quad\text{ou}\quad r=\tfrac13.
Portanto, os valores corretos de r são 0 e \tfrac13.
Isto contradiz o enunciado que afirmava r=\tfrac12 e r=-1.

Passo 4

Como r=-1 não surge da equação indicial verdadeira, não faz sentido montar a solução de Frobenius com esse r. Logo não é possível calcular coeficientes Y_n para r=-1, pois esse valor não está entre as raízes da equação indicial.

Resposta

Não há como obter r=-1 nem r=\tfrac12 a partir da equação dada; os expoentes de Frobenius são, na verdade,
r=0 \quad\text{e}\quad r=\tfrac13.
Portanto o item (b) do enunciado está incorreto, e não se pode construir série em torno de r=-1.

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