Método de Frobenius] Considere a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis:
. (a) Mostre que
é um ponto singular regular; (b) Usando o chute
, mostre que os dois possíveis valores para
são
e
. (c) Encontre os valores de
e
para a solução (aproximada) correspondente a
, ou seja, ache
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede:
a) mostrar que é ponto singular regular;
b) usar Frobenius com e obter os dois valores de
;
c) para a solução com , calcular
.
a) mostrar que
b) usar Frobenius com
c) para a solução com
Para resolver vamos primeiro escrever a equação na forma padrão
e identificar a natureza de
, depois montar o indicial e a recorrência de Frobenius.
Passo 2
Colocando em forma padrão, dividimos a equação original por
:
Logo
Vemos que
e
têm pólo de ordem no máximo 1 em
. Mais precisamente,
e
,
ambos finitos. Portanto é ponto singular regular.
ambos finitos. Portanto
Passo 3
Para aplicar Frobenius escrevemos
Substituindo em
e igualando as potências de
, obtemos o indicial (caso
):
Portanto, os valores corretos de
são
e
.
Isto contradiz o enunciado que afirmava e
.
Isto contradiz o enunciado que afirmava
Passo 4
Como
não surge da equação indicial verdadeira, não faz sentido montar a solução de Frobenius com esse
. Logo não é possível calcular coeficientes
para
, pois esse valor não está entre as raízes da equação indicial.
Resposta
Não há como obter
nem
a partir da equação dada; os expoentes de Frobenius são, na verdade,
Portanto o item (b) do enunciado está incorreto, e não se pode construir série em torno de
.