Usar o método da Variação dos Parâmetros para encontrar uma solução particular para as seguintes e.d.o de segunda ordem: y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\frac{e^{3 x}}{x^{2}}. (Resp: y_{p}(x)=e^{3 x} \ln |x|)
Passo 1
O enunciado pede uma solução particular para a equação
y'' - 6y' + 9y = \frac{e^{3x}}{x^2}
usando o método da variação dos parâmetros. Para isso precisamos primeiro da solução geral da homogênea associada e depois aplicar as fórmulas de variação de parâmetros.
Passo 2
A equação característica da homogênea
y'' - 6y' + 9y = 0
é
r^2 - 6r + 9 = 0 \implies (r-3)^2 = 0,
que tem raiz dupla r=3. Logo uma base de soluções homogêneas é