A equação de uma certa onda é:
, com
em metros e
em segundos. Calcule:
b) A expressão da elongação das partículas para as posições
.
b) A expressão da elongação das partículas para as posições
Passo 1
O enunciado nos dá a equação da onda
com
em metros e
em segundos, e pede a elongação das partículas (ou seja, o valor de
em função do tempo) para as posições
,
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A amplitude é
. - A função é do tipo
. - Para obter a elongação numa posição fixa
devemos substituir na expressão e simplificar para obter como função de .
Passo 2
Primeiro simplifico a fase para ver os coeficientes:
Aqui:
- O termo
mostra que a frequência angular em é (rad/s). - O termo
é a dependência espacial (número de onda , rad/m).
Mas, para este exercício, basta substituire usar identidades trigonométricas para simplificar.
Vou usar duas identidades trigonométricas úteis (mostro rapidamente por que valem):
-
, porque seno é função ímpar. -
. Verificação rápida: -
. Verificação rápida:
Passo 3
Agora calculo a elongação em
. Substituo
na fase:
Portanto
Usando
obtenho
Interpretação rápida: em
a partícula oscila com amplitude
e frequência angular
, mas com sinal invertido em relação a
.
Passo 4
Agora para
. Substituo
:
Então
Usando
com
, vem
Ou seja, a partícula em
oscila com a mesma forma temporal que
e amplitude
.
Passo 5
Finalmente para
. Substituo
:
Logo
Usando
com
, obtenho
Passo 6
Resumo e observação final (rápida e motivadora): vimos que as três posições dão funções temporais simples e que, curiosamente,
e
têm a mesma elongação
, enquanto
tem
. Ou seja, as partículas em
e
oscilam em oposição de fase a
. Mandou bem vindo até aqui — você já sabe como avaliar a elongação em qualquer
: é só substituir e usar identidades trigonométricas!