A equação de uma certa onda é: y=10 \sin [2 \pi(2 x-100 t)], com x em metros e t em segundos. Calcule:
b) A expressão da elongação das partículas para as posições x=0, x=0.25, x=0.5.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da onda
y=10\sin\bigl[2\pi(2x-100t)\bigr],
com x em metros e t em segundos, e pede a elongação das partículas (ou seja, o valor de y em função do tempo) para as posições x=0, x=0{,}25 e x=0{,}5.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A amplitude é 10.
  • A função é do tipo y(x,t)=A\sin(\text{fase}).
  • Para obter a elongação numa posição fixa x=x_0 devemos substituir x=x_0 na expressão e simplificar para obter y como função de t.

Passo 2

Primeiro simplifico a fase para ver os coeficientes:
2\pi(2x-100t)=4\pi x-200\pi t.
Aqui:
  • O termo -200\pi t mostra que a frequência angular em t é \omega=200\pi (rad/s).
  • O termo 4\pi x é a dependência espacial (número de onda k=4\pi, rad/m).
    Mas, para este exercício, basta substituir x e usar identidades trigonométricas para simplificar.
Vou usar duas identidades trigonométricas úteis (mostro rapidamente por que valem):
  • \sin(-\theta)=-\sin(\theta), porque seno é função ímpar.
  • \sin(\pi-\theta)=\sin(\theta). Verificação rápida: \sin(\pi-\theta)=\sin\pi\cos\theta-\cos\pi\sin\theta=0-\!(-1)\sin\theta=\sin\theta.
  • \sin(2\pi-\theta)=-\sin(\theta). Verificação rápida: \sin(2\pi-\theta)=\sin2\pi\cos\theta-\cos2\pi\sin\theta=0-1\cdot\sin\theta=-\sin\theta.

Passo 3

Agora calculo a elongação em x=0. Substituo x=0 na fase:
\text{fase}=2\pi(2\cdot0-100t)=2\pi(-100t)=-200\pi t.
Portanto
y(0,t)=10\sin(-200\pi t).
Usando \sin(-\theta)=-\sin\theta obtenho
y(0,t)=-10\sin(200\pi t).
Interpretação rápida: em x=0 a partícula oscila com amplitude 10 e frequência angular 200\pi, mas com sinal invertido em relação a \sin(200\pi t).

Passo 4

Agora para x=0{,}25. Substituo x=0{,}25:
\text{fase}=2\pi(2\cdot0{,}25-100t)=2\pi(0{,}5-100t)=\pi-200\pi t.
Então
y(0{,}25,t)=10\sin(\pi-200\pi t).
Usando \sin(\pi-\theta)=\sin\theta com \theta=200\pi t, vem
y(0{,}25,t)=10\sin(200\pi t).
Ou seja, a partícula em x=0{,}25 oscila com a mesma forma temporal que \sin(200\pi t) e amplitude 10.

Passo 5

Finalmente para x=0{,}5. Substituo x=0{,}5:
\text{fase}=2\pi(2\cdot0{,}5-100t)=2\pi(1-100t)=2\pi-200\pi t.
Logo
y(0{,}5,t)=10\sin(2\pi-200\pi t).
Usando \sin(2\pi-\theta)=-\sin\theta com \theta=200\pi t, obtenho
y(0{,}5,t)=-10\sin(200\pi t).

Passo 6

Resumo e observação final (rápida e motivadora): vimos que as três posições dão funções temporais simples e que, curiosamente, x=0 e x=0{,}5 têm a mesma elongação -10\sin(200\pi t), enquanto x=0{,}25 tem +10\sin(200\pi t). Ou seja, as partículas em x=0 e x=0{,}5 oscilam em oposição de fase a x=0{,}25. Mandou bem vindo até aqui — você já sabe como avaliar a elongação em qualquer x: é só substituir e usar identidades trigonométricas!

Resposta

x=0:\\ y(t)=-10\sin(200\pi t)
x=0{,}25:\\ y(t)=10\sin(200\pi t)
x=0{,}5:\\ y(t)=-10\sin(200\pi t)

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