1. Dois pontos de um fio são observados quando uma onda progressiva passa por eles. Os pontos são x_{1}=0 e x_{2}=1 \mathrm{~m}. O movimento transversal destes dois pontos é descrito, respectivamente, por:
\begin{gathered} y_{1}=0.2 \sin (3 \pi t) \\\ y_{2}=0.2 \sin \left(3 \pi t+\frac{\pi}{8}\right) \end{gathered}
Determine o sentido do movimento da onda, a velocidade de propagação da onda, o comprimento de onda e a frequência.
(v=-24 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; \lambda=16 \mathrm{~m} ; f=1.5 \mathrm{~Hz})

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
  • Dois pontos do fio estão em x_{1}=0 e x_{2}=1\\ \mathrm{m}.
  • O movimento transversal nesses pontos é
y_{1}=0{,}2\sin(3\pi t)
y_{2}=0{,}2\sin\!\left(3\pi t+\frac{\pi}{8}\right)
O enunciado pede:
  • determinar o sentido do movimento da onda;
  • determinar a velocidade de propagação da onda;
  • determinar o comprimento de onda;
  • determinar a frequência.

Passo 2

Identificar a amplitude e a pulsação \omega a partir de y_{1}.
A forma y_{1}=0{,}2\sin(3\pi t) mostra que a amplitude é A=0{,}2\\ \mathrm{m} e que o argumento do seno em função do tempo é 3\pi t. Isso nos diz que a pulsação é
\omega = 3\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Explicação curta sobre \omega e frequência: a pulsação \omega é a velocidade angular da oscilação (em rad/s). A frequência f (em Hz) está ligada por
f=\frac{\omega}{2\pi}.
Aplicando:
f=\frac{3\pi}{2\pi}=\frac{3}{2}=1{,}5\\ \mathrm{Hz}.

Passo 3

Determinar o número de onda k (e assim o comprimento de onda) a partir da diferença de fase entre os dois pontos.
Observação: a diferença de fase entre y_{2} e y_{1} é \Delta\varphi=\dfrac{\pi}{8} (note que o seno em x_{2} tem o mesmo termo temporal 3\pi t mais +\pi/8). Em ondas harmônicas propagantes, a fase entre dois pontos separados por \Delta x=x_{2}-x_{1} vem do termo espacial k x. Uma forma conveniente da onda que explicita isso é
y(x,t)=A\sin(\omega t + kx + \varphi_0).
Nessa forma, a diferença de fase ao ir de x_{1} para x_{2} é k(x_{2}-x_{1}).
Como aqui \Delta\varphi = k(x_{2}-x_{1}) e x_{2}-x_{1}=1\\ \mathrm{m}, segue que
k\cdot 1 = \frac{\pi}{8}\quad\Rightarrow\quad k=\frac{\pi}{8}\\ \mathrm{rad/m}.
Explicação do que é k: o número de onda k mede quantos radianos de fase existem por metro; ele está ligado ao comprimento de onda \lambda por
\lambda=\frac{2\pi}{k}.
Calcule \lambda:
\lambda=\frac{2\pi}{\pi/8}=2\pi\cdot\frac{8}{\pi}=16\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Determinar o sentido de propagação a partir do sinal no argumento da função de onda.
Relembrando: formas típicas e seu sentido
  • y(x,t)=f(kx-\omega t) representa uma onda que se propaga no sentido positivo de x (para x crescente).
  • y(x,t)=f(kx+\omega t) representa uma onda que se propaga no sentido negativo de x (para x decrescente).
No nosso caso, ao comparar y_{1} e y_{2} vimos que a forma compatível é
y(x,t)=0{,}2\sin(\omega t + kx),
ou seja, o argumento contém kx+\omega t. Portanto a onda está se propagando no sentido negativo do eixo x (para valores de x decrescentes).

Passo 5

Calcular a velocidade de propagação v.
A relação entre velocidade, pulsação e número de onda é (módulo)
|v|=\frac{\omega}{k}.
Como estabelecido que a onda se propaga no sentido negativo de x, o sinal de v é negativo:
v=-\frac{\omega}{k}.
Substituindo \omega=3\pi e k=\pi/8:
v=-\frac{3\pi}{\pi/8}=-3\cdot 8=-24\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Resumo e verificação rápida dos resultados (checagem de consistência):
  • \omega=3\pi\\ \mathrm{rad/s} implica f=1{,}5\\ \mathrm{Hz}.
  • k=\pi/8\\ \mathrm{rad/m} implica \lambda=16\\ \mathrm{m}.
  • v=-\omega/k=-24\\ \mathrm{m/s}, sinal negativo coerente com a forma kx+\omega t (onda indo para x decrescente).

Resposta

Sentido: para o sentido negativo do eixo x (onda se propaga para x decrescente).
v=-24\\ \mathrm{m/s}
\lambda=16\\ \mathrm{m}
f=1{,}5\\ \mathrm{Hz}

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