1. Verifique que as seguintes equações descrevem a mesma onda progressiva:
\begin{array}{ll} y=A \sin \left[2 \pi \frac{(x-v t)}{\lambda}\right] & y=A \sin \left[2 \pi\left(\frac{k}{2 \pi} x-f t\right)\right] \\\ y=A \sin \left[2 \pi\left(\frac{x}{\lambda}-\frac{t}{T}\right)\right] & y=-A \sin \left[\omega\left(t-\frac{x}{v}\right)\right] \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as quatro expressões dadas representam a mesma onda progressiva. As expressões fornecidas são (transcrevo exatamente as formas do enunciado):
y=A \sin \left[2 \pi \frac{(x-v t)}{\lambda}\right], \qquad y=A \sin \left[2 \pi\left(\frac{k}{2 \pi} x-f t\right)\right],
y=A \sin \left[2 \pi\left(\frac{x}{\lambda}-\frac{t}{T}\right)\right], \qquad y=-A \sin \left[\omega\left(t-\frac{x}{v}\right)\right].
O que precisamos mostrar é que, com as relações usuais entre os parâmetros de onda, todas as quatro expressões são equivalentes (isto é, descrevem exatamente a mesma função y(x,t)).

Passo 2

Antes de manipular as expressões, vamos lembrar e explicar as relações entre as grandezas de uma onda harmônica progressiva:
  • \lambda é o comprimento de onda (distância entre cristas consecutivas).
  • T é o período (tempo entre cristas consecutivas).
  • f é a frequência, definida por \displaystyle f=\frac{1}{T}. Então T=\frac{1}{f}.
  • v é a velocidade de propagação da onda. Para ondas harmônicas vale a relação
v=\lambda f.
Explicando: em um segundo a onda desloca-se uma distância v; o número de cristas que passa por um ponto por segundo é f; a distância entre cristas é \lambda; assim v=\lambda f.
  • k é o número de onda (ou número de onda angular espacial), definido por
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Isso mede quantos radianos de fase a onda ganha por unidade de comprimento.
  • \omega é a frequência angular (ou pulsação), definida por
\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}.
Isso mede quantos radianos de fase a onda ganha por unidade de tempo.
  • Com essas definições aparece também a relação
\frac{\omega}{v}=k,
pois \displaystyle \frac{\omega}{v}=\frac{2\pi f}{\lambda f}=\frac{2\pi}{\lambda}=k.
Essas relações são essenciais porque permitem reescrever os argumentos das funções seno de formas equivalentes.

Passo 3

Começo por reescrever a primeira expressão
y=A \sin \left[2 \pi \frac{(x-v t)}{\lambda}\right].
Expando o argumento:
2\pi\frac{x-vt}{\lambda}=2\pi\frac{x}{\lambda}-2\pi\frac{v t}{\lambda}.
Agora uso \displaystyle \frac{2\pi}{\lambda}=k e \displaystyle 2\pi\frac{v}{\lambda}=2\pi f=\omega (pois \displaystyle v/\lambda=f e \displaystyle 2\pi f=\omega). Assim o argumento vira
k x - \omega t.
Portanto a primeira expressão é
y=A\sin(kx-\omega t).

Passo 4

Agora a segunda expressão:
y=A \sin \left[2 \pi\left(\frac{k}{2 \pi} x-f t\right)\right].
Dentro do colchete a multiplicação por 2\pi simplifica com \dfrac{k}{2\pi}:
2\pi\left(\frac{k}{2\pi}x - f t\right)=k x - 2\pi f t.
E como \displaystyle 2\pi f=\omega, obtemos novamente
y=A\sin(kx-\omega t).
Logo a segunda expressão é idêntica à primeira reescrita.

Passo 5

A terceira expressão é
y=A \sin \left[2 \pi\left(\frac{x}{\lambda}-\frac{t}{T}\right)\right].
Use \displaystyle \frac{2\pi}{\lambda}=k e \displaystyle \frac{1}{T}=f (ou \displaystyle 2\pi\frac{1}{T}=2\pi f=\omega). Expandindo:
2\pi\left(\frac{x}{\lambda}-\frac{t}{T}\right)=2\pi\frac{x}{\lambda}-2\pi\frac{t}{T}=k x - \omega t.
Portanto a terceira também se reduz a
y=A\sin(kx-\omega t).

Passo 6

Por fim a quarta expressão:
y=-A \sin \left[\omega\left(t-\frac{x}{v}\right)\right].
Expando o argumento:
\omega\left(t-\frac{x}{v}\right)=\omega t - \omega\frac{x}{v}.
Então
y=-A\sin(\omega t - \omega x/v).
Uso a identidade trigonométrica \displaystyle -\sin(\alpha)=\sin(-\alpha) para escrever
y=\sin\bigl(-\omega t + \omega x/v\bigr)A = A\sin\bigl(\omega x/v - \omega t\bigr).
Agora uso \displaystyle \omega/v = k (veja passo 2). Assim o argumento torna-se k x - \omega t, e portanto
y=A\sin(kx-\omega t).
Logo a quarta expressão também é equivalente às demais.

Passo 7

Resumo e interpretação prática: todas as quatro fórmulas têm o mesmo comportamento de dependência espacial e temporal — a fase é sempre k x - \omega t — portanto descrevem a mesma onda que se propaga no sentido positivo de x com amplitude A, número de onda k, pulsação \omega e velocidade v relacionadas por
k=\frac{2\pi}{\lambda},\qquad \omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T},\qquad v=\lambda f=\frac{\omega}{k}.
Se ficar ansioso na prova: basta escolher a forma \displaystyle y=A\sin(kx-\omega t) como padrão e usar as relações acima para passar de qualquer uma das formas dadas para essa forma padrão.

Resposta

As quatro expressões são equivalentes; todas se reduzem a y=A\sin(kx-\omega t) com k=\dfrac{2\pi}{\lambda}, \omega=2\pi f= \dfrac{2\pi}{T} e v=\lambda f=\dfrac{\omega}{k}.

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