- Verifique que as seguintes equações descrevem a mesma onda progressiva:
Passo 1
O enunciado pede para verificar que as quatro expressões dadas representam a mesma onda progressiva. As expressões fornecidas são (transcrevo exatamente as formas do enunciado):
O que precisamos mostrar é que, com as relações usuais entre os parâmetros de onda, todas as quatro expressões são equivalentes (isto é, descrevem exatamente a mesma função
).
Passo 2
Antes de manipular as expressões, vamos lembrar e explicar as relações entre as grandezas de uma onda harmônica progressiva:
-
é o comprimento de onda (distância entre cristas consecutivas). -
é o período (tempo entre cristas consecutivas). -
é a frequência, definida por . Então . -
é a velocidade de propagação da onda. Para ondas harmônicas vale a relação
Explicando: em um segundo a onda desloca-se uma distância
; o número de cristas que passa por um ponto por segundo é
; a distância entre cristas é
; assim
.
-
é o número de onda (ou número de onda angular espacial), definido por
Isso mede quantos radianos de fase a onda ganha por unidade de comprimento.
-
é a frequência angular (ou pulsação), definida por
Isso mede quantos radianos de fase a onda ganha por unidade de tempo.
- Com essas definições aparece também a relação
pois
.
Essas relações são essenciais porque permitem reescrever os argumentos das funções seno de formas equivalentes.
Passo 3
Começo por reescrever a primeira expressão
Expando o argumento:
Agora uso
e
(pois
e
). Assim o argumento vira
Portanto a primeira expressão é
Passo 4
Agora a segunda expressão:
Dentro do colchete a multiplicação por
simplifica com
:
E como
, obtemos novamente
Logo a segunda expressão é idêntica à primeira reescrita.
Passo 5
A terceira expressão é
Use
e
(ou
). Expandindo:
Portanto a terceira também se reduz a
Passo 6
Por fim a quarta expressão:
Expando o argumento:
Então
Uso a identidade trigonométrica
para escrever
Agora uso
(veja passo 2). Assim o argumento torna-se
, e portanto
Logo a quarta expressão também é equivalente às demais.
Passo 7
Resumo e interpretação prática: todas as quatro fórmulas têm o mesmo comportamento de dependência espacial e temporal — a fase é sempre
— portanto descrevem a mesma onda que se propaga no sentido positivo de
com amplitude
, número de onda
, pulsação
e velocidade
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Se ficar ansioso na prova: basta escolher a forma
como padrão e usar as relações acima para passar de qualquer uma das formas dadas para essa forma padrão.
Resposta
As quatro expressões são equivalentes; todas se reduzem a
com
,
e
.