1. Uma onda sinusiodal progressiva tem comprimento de onda 0.27 m e propaga-se com uma velocidade de 13 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule o número de onda e a frequência desta onda.
\left(\mathrm{k}=23.3 \mathrm{rad} / \mathrm{m} ; f=48.2 \mathrm{~s}^{-1}\right)

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas claras:
  • Dado: comprimento de onda \lambda = 0,27\\ \mathrm{m}.
  • Dado: velocidade de propagação v = 13\\ \mathrm{m/s}.
  • Pedido 1: calcular o número de onda k.
  • Pedido 2: calcular a frequência f.

Passo 2

Vamos lembrar o que são as grandezas e as fórmulas que vamos usar (uma mini-aula rápida, sem pânico).
  • O número de onda k mede quantos radianos de fase existem por unidade de comprimento; é a versão espacial da frequência angular. A fórmula padrão é
k = \frac{2\pi}{\lambda},
onde \lambda é o comprimento de onda (em metros) e k tem unidade \mathrm{rad/m}.
  • A frequência f é o número de oscilações por segundo (em hertz ou \mathrm{s}^{-1}). Para uma onda que se propaga com velocidade v e tem comprimento de onda \lambda vale a relação clássica
v = \lambda f.
Desse modo podemos isolar f:
f = \frac{v}{\lambda}.
Essas fórmulas são básicas e muito usadas em provas: memorize k=\dfrac{2\pi}{\lambda} e f=\dfrac{v}{\lambda}.

Passo 3

Cálculo do número de onda k. Substituímos \lambda na fórmula:
k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0,27\\ \mathrm{m}}.
Para facilitar a conta sem calculadora, escrevemos
k = \frac{2\pi}{0,27} = \frac{2\pi \times 100}{27} = \frac{200\pi}{27}.
Agora aproximamos \pi por 3,14159, então 200\pi \approx 200\times3,14159 = 628,318. Dividindo por 27:
k \approx \frac{628,318}{27} \approx 23,271.
Arredondando com três algarismos significativos:
k \approx 23,3\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 4

Cálculo da frequência f. Usamos f=\dfrac{v}{\lambda} e substituímos os valores:
f = \frac{13}{0,27}.
Multiplicando numerador e denominador por 100 para trabalhar com inteiros:
f = \frac{1300}{27}.
Agora fazemos a divisão inteira: 27\times48 = 1296, sobra 1300-1296=4. Portanto
f = 48 + \frac{4}{27} \approx 48 + 0,148 = 48,148\ldots
Arredondando com três algarismos significativos:
f \approx 48,2\\ \mathrm{s}^{-1}\\ (\text{ou }48,2\\ \mathrm{Hz}).

Passo 5

Checagem rápida (bom hábito na prova): verificar que v=\lambda f com os valores obtidos.
\lambda f \approx 0,27\times48,148\ldots \approx 13{,}0\\ \mathrm{m/s},
ou seja, volta exatamente para a velocidade dada — a conta bate. Isso dá confiança de que os resultados estão corretos.

Passo 6

Dica prática para a prova: se pedirem k e você tiver \lambda, use sempre k=2\pi/\lambda. Se der v e \lambda, calcule f=v/\lambda. Para arredondar rápido sem calculadora, transforme frações decimais em inteiros multiplicando por potências de 10 (como fizemos) e faça divisões inteiras seguidas de resto para obter a parte decimal.

Resposta

k = 23,3\\ \mathrm{rad/m}
f = 48,2\\ \mathrm{s}^{-1}

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