Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se A é LD, então S não pode ser LI.
II. Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} não são coplanares, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.
III. Se A, B e C são todos LIs, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Só III é verdadeira.
(C) Só II e III são verdadeiras.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só II é verdadeira.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Todas são falsas.

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto S=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} de três vetores distintos em \mathbb{R}^{3} e os subconjuntos
A=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}, B=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{3}\} e C=\{\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}.
Precisamos decidir a verdade das afirmativas:
I. Se A é LD, então S não pode ser LI.
II. Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} não são coplanares, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.
III. Se A,B e C são todos LIs, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.
O objetivo: dizer quais dessas afirmativas são verdadeiras e escolher a alternativa correspondente entre (A)–(H).

Passo 2

Definições e ideias fundamentais (vai ajudar a entender e usar nas provas):
  • Um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) se existem escalares, nem todos nulos, que formam uma combinação linear nula. Formalmente, o conjunto \{\vec{w}_1,\dots,\vec{w}_k\} é LD se existem \alpha_1,\dots,\alpha_k, não todos zero, tais que
\alpha_1\vec{w}_1+\dots+\alpha_k\vec{w}_k=\vec{0}.
Se a única solução for \alpha_1=\dots=\alpha_k=0, o conjunto é linearmente independente (LI).
  • Para dois vetores em \mathbb{R}^3: \{\vec{u},\vec{v}\} é LD exatamente quando um é múltiplo escalar do outro; caso contrário é LI.
  • “Coplanares” quer dizer: os três vetores estão contidos numa mesma reta ou plano que passa pela origem. Para vetores em \mathbb{R}^3, três vetores são coplanares se um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Assim, para três vetores em \mathbb{R}^3:
    • se são coplanares então são linearmente dependentes;
    • se não são coplanares então são linearmente independentes.
  • em \mathbb{R}^{3} a dimensão é 3. Logo, qualquer conjunto de exatamente 3 vetores que seja LI é automaticamente uma base de \mathbb{R}^{3} (pois são 3 vetores LI numa espaço de dimensão 3, portanto geram o espaço).
Essas observações serão usadas para analisar cada afirmativa.

Passo 3

Analisando a afirmativa I: “Se A é LD, então S não pode ser LI.”
Raciocínio: se A=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\} é LD, então existem \alpha,\beta, não ambos zero, tais que
\alpha\vec{v}_{1}+\beta\vec{v}_{2}=\vec{0}.
Isso mostra que já existe uma combinação linear não trivial entre vetores que pertencem a S. Mas linearmente dependente é uma propriedade herdada por supersets: qualquer conjunto que contenha um subconjunto LD é LD (basta completar com zeros os coeficientes correspondentes aos vetores adicionais). Portanto S é LD, isto é, S não é LI. Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
Dica de prova rápida na prova: basta notar que se dois vetores são LD um é múltiplo do outro; então os três não podem ser LI.

Passo 4

Analisando a afirmativa II: “Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} não são coplanares, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.”
Raciocínio: por definição, não serem coplanares significa que os três vetores não estão contidos num mesmo plano através da origem; isto é equivalente a dizer que nenhum deles é combinação linear dos outros dois. Portanto os três são linearmente independentes. Em \mathbb{R}^{3}, qualquer conjunto de três vetores LI tem tamanho igual à dimensão do espaço, logo gera todo \mathbb{R}^{3} e por isso é uma base. Assim II é verdadeira.
Como usar isso na prova prática: verificar se \det([\vec{v}_1\\ \vec{v}_2\\ \vec{v}_3])\neq 0 (matriz com os vetores como colunas) é um teste rápido de não coplanar/LI; se determinante não nulo, os vetores são LI e formam base.

Passo 5

Analisando a afirmativa III: “Se A,B e C são todos LIs, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.”
Vamos ver se isso é sempre verdade. A hipótese diz que cada par é LI, ou seja, nenhum par tem um vetor sendo múltiplo do outro. Mas isso não impede que os três juntos sejam LD (isto é, que haja uma relação não trivial envolvendo os três). Um contraexemplo simples em \mathbb{R}^{3} mostra que III é falsa:
Considere
\vec{v}_{1}=(1,0,0),\qquad \vec{v}_{2}=(0,1,0),\qquad \vec{v}_{3}=(1,1,0).
  • O par A=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} é LI (não são múltiplos).
  • O par B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_3\} é LI (pois \vec{v}_3 não é múltiplo de \vec{v}_1).
  • O par C=\{\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é LI (pois \vec{v}_3 não é múltiplo de \vec{v}_2).
Portanto A,B,C são todos LI. Porém os três vetores juntos são LD, pois
\vec{v}_1+\vec{v}_2-\vec{v}_3=\vec{0},
ou seja, existe combinação não trivial que anula os três, logo S não é LI e, consequentemente, não é base. Assim a afirmativa III é falsa.
Observação conceitual: independência pairwise (toda dupla LI) não implica independência conjunta para três ou mais vetores.

Passo 6

Conclusão final sobre as três afirmativas:
  • I é verdadeira.
  • II é verdadeira.
  • III é falsa.
Portanto a alternativa correta é a que afirma “Só I e II são verdadeiras”, isto é a alternativa (A).

Resposta

(A)

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