Q6: A equação do círculo com centro em ( x_{0}, y_{0} ) e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão, obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde
a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0}, \quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por três pontos dados.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação (*) para valores fixos de a, b e c, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de a, b e c, podemos determinar o raio do círculo através das relações (**).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (-1,4),(-2,1) e (-3,-3).
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 47.5
(B) 48.5
(C) 49.5
(D) 50.5
(E) 51.5
(F) 52.5
(G) 53.5
(H) 54.5

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se: determinar o centro (x_{0},y_{0}) e o raio r do círculo que passa pelos pontos (-1,4),(-2,1),(-3,-3) e, em seguida, escolher dentre as alternativas aquela cujo valor é o mais próximo do raio.
  • Informação básica fornecida: a equação geral do círculo, ao abrir, é
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c,
com as relações
a=-2x_{0},\qquad b=-2y_{0},\qquad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
  • Pontos pertencentes ao círculo (estes serão usados para montar um sistema linear em a,b,c):
    • P_{1}=(-1,4)
    • P_{2}=(-2,1)
    • P_{3}=(-3,-3)

Passo 2

Montar as equações substituindo cada ponto em x^{2}+a x+y^{2}+b y=c.
Para cada ponto calcule x^{2}+y^{2} e substitua.
  • Para P_{1}=(-1,4): x^{2}+y^{2}=1+16=17. Substituindo:
17 + a(-1) + b(4) = c.
Rearranjando para formar uma equação linear em a,b,c:
-a + 4b - c = -17. \tag{1}
  • Para P_{2}=(-2,1): x^{2}+y^{2}=4+1=5. Substituindo:
5 + a(-2) + b(1) = c
ou
-2a + b - c = -5. \tag{2}
  • Para P_{3}=(-3,-3): x^{2}+y^{2}=9+9=18. Substituindo:
18 + a(-3) + b(-3) = c
ou
-3a -3b - c = -18. \tag{3}
Agora temos o sistema linear (1),(2),(3) em a,b,c.

Passo 3

Eliminar c para obter um sistema de duas equações em a e b.
Subtraia (1) de (2):
(-2a + b - c) - (-a + 4b - c) = -5 - (-17).
O termo -c cancela, ficando
-2a + b + a -4b = 12 \quad\Rightarrow\quad -a -3b = 12,
ou
a + 3b = -12. \tag{4}
Subtraia (2) de (3):
(-3a -3b - c) - (-2a + b - c) = -18 - (-5).
Novamente -c cancela, ficando
-3a -3b +2a - b = -13 \quad\Rightarrow\quad -a -4b = -13,
ou
a + 4b = 13. \tag{5}
Agora (4) e (5) formam um sistema simples em a,b.

Passo 4

Resolver o sistema em a e b.
Subtrair (4) de (5):
(a+4b) - (a+3b) = 13 - (-12) \quad\Rightarrow\quad b = 25.
Substituir b=25 em (5):
a + 4\cdot25 = 13 \quad\Rightarrow\quad a + 100 = 13 \quad\Rightarrow\quad a = -87.
Portanto a=-87 e b=25.

Passo 5

Determinar c usando uma das equações originais (por exemplo a (2)).
Usando (2): -2a + b - c = -5. Substituindo a e b:
-2(-87) + 25 - c = -5.
Calcule:
174 + 25 - c = -5 \quad\Rightarrow\quad 199 - c = -5 \quad\Rightarrow\quad c = 204.
Verificação rápida com (1) ou (3) confirma c=204.

Passo 6

Encontrar o centro (x_{0},y_{0}) a partir de a e b.
Lembrando a=-2x_{0} e b=-2y_{0}, temos
x_{0} = -\frac{a}{2} = -\frac{-87}{2} = \frac{87}{2} = 43{,}5,
y_{0} = -\frac{b}{2} = -\frac{25}{2} = -12{,}5.
Portanto o centro é \left(\dfrac{87}{2},-\dfrac{25}{2}\right)= (43{,}5,\,-12{,}5).

Passo 7

Calcular r^{2} e r usando c = r^{2} - x_{0}^{2} - y_{0}^{2}.
Da relação dada:
r^{2} = c + x_{0}^{2} + y_{0}^{2}.
Calcule x_{0}^{2} e y_{0}^{2}:
x_{0}^{2} = \left(\frac{87}{2}\right)^{2} = \frac{87^{2}}{4} = \frac{7569}{4} = 1892{,}25,
y_{0}^{2} = \left(\frac{25}{2}\right)^{2} = \frac{625}{4} = 156{,}25.
Somando:
x_{0}^{2}+y_{0}^{2} = 1892{,}25 + 156{,}25 = 2048{,}5.
Agora
r^{2} = c + x_{0}^{2}+y_{0}^{2} = 204 + 2048{,}5 = 2252{,}5.
Logo
r = \sqrt{2252{,}5}.

Passo 8

Aproximação de \sqrt{2252{,}5} sem calculadora e escolha da alternativa.
Fazendo comparações com quadrados inteiros e meios:
  • 47^{2} = 2209.
  • 48^{2} = 2304.
Portanto 47 < r < 48. Verificamos o quadrado de 47{,}5:
47{,}5^{2} = \left(\frac{95}{2}\right)^{2} = \frac{9025}{4} = 2256{,}25.
Isso é ligeiramente maior que 2252{,}5 (diferença 2256{,}25-2252{,}5=3{,}75).
Calcule 47{,}45^{2} para refinar:
47{,}45^{2} \approx 2251{,}5025,
que é um pouco menor que 2252{,}5 (diferença \approx 0{,}9975).
Calculando 47{,}46^{2} (aumentando 0{,}01 em relação a 47{,}45):
47{,}46^{2} \approx 2252{,}4516,
que já é muito próximo de 2252{,}5 (diferença \approx 0{,}0484).
Portanto
r \approx 47{,}46\ldots
Comparando com as alternativas dadas (valores apresentados com uma casa decimal), o valor mais próximo de r é 47{,}5.

Resposta

(A) 47,5

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