Q6: A equação do círculo com centro em ( x_{0}, y_{0} ) e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão, obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde
a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0}, \quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por três pontos dados.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação (*) para valores fixos de a, b e c, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de a, b e c, podemos determinar o raio do círculo através das relações (**).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (4,-5),(-3,5) e (-2,4).
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 26.1
(B) 27.1
(C) 28.1
(D) 29.1
(E) 30.1
(F) 31.1
(G) 32.1
(H) 33.1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
  • Três pontos que pertencem ao mesmo círculo: (4,-5), (-3,5) e (-2,4).
O enunciado pede:
  1. Determinar o centro e o raio do círculo que passa por esses três pontos.
  2. Dentre as opções fornecidas, escolher o valor mais próximo do raio.
Informações úteis fornecidas sobre a forma do círculo (não vou usá-las ainda, só cito porque serão necessárias):
  • A equação expandida do círculo é x^{2}+a x+y^{2}+b y=c.
  • As relações entre a,b,c e o centro (x_{0},y_{0}) e raio r são:
a=-2x_{0},\qquad b=-2y_{0},\qquad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.

Passo 2

Explicar a estratégia (de forma simples e prática):
  • Como os três pontos satisfazem a mesma equação \,x^{2}+a x+y^{2}+b y=c, ao substituir cada ponto obtemos três equações lineares em a,b,c.
  • Vou montar essas três equações, eliminar c subtraindo pares de equações (isso nos dá duas equações lineares em a e b apenas) e resolver por eliminação simples.
  • Depois que encontrar a e b, calculo c usando uma das equações. Em seguida uso as fórmulas x_{0}=-a/2 e y_{0}=-b/2 para obter o centro e finalmente r^{2}=c+x_{0}^{2}+y_{0}^{2} para o raio.

Passo 3

Substituir cada ponto na equação \,x^{2}+a x+y^{2}+b y=c e escrever as três equações.
Para (4,-5):
4^{2}+a\cdot4+(-5)^{2}+b\cdot(-5)=c
Portanto
41+4a-5b=c.
Para (-3,5):
(-3)^{2}+a\cdot(-3)+5^{2}+b\cdot5=c
Portanto
34-3a+5b=c.
Para (-2,4):
(-2)^{2}+a\cdot(-2)+4^{2}+b\cdot4=c
Portanto
20-2a+4b=c.
Agora temos o sistema (escrito de forma compacta):
\begin{cases} 41+4a-5b=c,\\[4pt] 34-3a+5b=c,\\[4pt] 20-2a+4b=c. \end{cases}]

Passo 4

Eliminar c subtraindo pares de equações para obter duas equações só em a e b.
Subtrair a terceira equação da segunda:
(34-3a+5b)-(20-2a+4b)=0.
Calcular termo a termo:
14 -a + b = 0.
Isolando:
-a+b=-14.
Ou
b = a-14.
Subtrair a terceira equação da primeira:
(41+4a-5b)-(20-2a+4b)=0.
Calcular termo a termo:
21 +6a -9b = 0.
Dividindo por 3 para simplificar:
7 +2a -3b = 0.
Ou
2a-3b=-7.
Agora temos o sistema em a,b:
\begin{cases} b = a-14,\\[4pt] 2a-3b=-7. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema para a e b substituindo b=a-14 na segunda equação.
Substituição:
2a-3(a-14)=-7.
Desenvolvendo:
2a-3a+42=-7.
Portanto
-a+42=-7.
Isolando a:
-a=-49 \quad\Rightarrow\quad a=49.
Agora b=a-14 nos dá:
b=49-14=35.

Passo 6

Determinar c substituindo a e b em uma das equações iniciais (uso a terceira, que tem números menores):
Usar \,20-2a+4b=c.
Substituindo:
c=20-2\cdot49+4\cdot35.
Calcular passo a passo:
-2\cdot49=-98,\qquad 4\cdot35=140.
Portanto
c=20-98+140=62.
Conferência rápida (cheque mental): usar a segunda equação dá 34-3\cdot49+5\cdot35=34-147+175=62. Está consistente.

Passo 7

Encontrar o centro (x_{0},y_{0}) a partir de a e b usando as fórmulas:
x_{0}=-\dfrac{a}{2},\qquad y_{0}=-\dfrac{b}{2}.
Substituindo a=49 e b=35:
x_{0}=-\dfrac{49}{2}=-24{,}5, \qquad y_{0}=-\dfrac{35}{2}=-17{,}5.
(Usei vírgula decimal conforme o estilo pedido.)

Passo 8

Calcular o raio r. A relação é
r^{2}=c+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}.
Calcular as partes:
x_{0}^{2}=(-24{,}5)^{2}=24{,}5^{2}=600{,}25,
y_{0}^{2}=(-17{,}5)^{2}=17{,}5^{2}=306{,}25.
Somando:
x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=600{,}25+306{,}25=906{,}5.
Logo
r^{2}=c+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=62+906{,}5=968{,}5.
Agora r=\sqrt{968{,}5}. Vou aproximar a raiz quadrada com explicação curta:
  • Note que 31^{2}=961 e 32^{2}=1024, então r está entre 31 e 32.
  • Para refinamento, use linearização: se f(x)=x^{2}, então \Delta x \approx \dfrac{\Delta f}{2x}.
    Aqui \Delta f=968{,}5-961=7{,}5 e com x\approx31 temos \Delta x\approx\dfrac{7{,}5}{2\cdot31}=\dfrac{7{,}5}{62}\approx0{,}121.
  • Portanto r\approx31+0{,}121=31{,}121.
Arredondando para uma casa decimal conforme as opções, r\approx31{,}1.

Passo 9

Comparar com as opções fornecidas: a opção (F) é 31{,}1, que é a que corresponde ao valor calculado. Então a resposta é a letra (F).

Resposta

Centro: (x_{0},y_{0})=\left(-24{,}5,-17{,}5\right), Raio: r\approx31{,}12
(F) 31{,}1

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