Q6: A equação do círculo com centro em ( x_{0}, y_{0} ) e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão, obtemos:
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por três pontos dados.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação (*) para valores fixos de a, b e c, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de a, b e c, podemos determinar o raio do círculo através das relações (**).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (4,-5),(-3,5) e (-2,4).
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 26.1
(B) 27.1
(C) 28.1
(D) 29.1
(E) 30.1
(F) 31.1
(G) 32.1
(H) 33.1
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
Três pontos que pertencem ao mesmo círculo: (4,-5), (-3,5) e (-2,4).
O enunciado pede:
Determinar o centro e o raio do círculo que passa por esses três pontos.
Dentre as opções fornecidas, escolher o valor mais próximo do raio.
Informações úteis fornecidas sobre a forma do círculo (não vou usá-las ainda, só cito porque serão necessárias):
A equação expandida do círculo é x^{2}+a x+y^{2}+b y=c.
As relações entre a,b,c e o centro (x_{0},y_{0}) e raio r são:
Explicar a estratégia (de forma simples e prática):
Como os três pontos satisfazem a mesma equação \,x^{2}+a x+y^{2}+b y=c, ao substituir cada ponto obtemos três equações lineares em a,b,c.
Vou montar essas três equações, eliminar c subtraindo pares de equações (isso nos dá duas equações lineares em a e b apenas) e resolver por eliminação simples.
Depois que encontrar a e b, calculo c usando uma das equações. Em seguida uso as fórmulas x_{0}=-a/2 e y_{0}=-b/2 para obter o centro e finalmente r^{2}=c+x_{0}^{2}+y_{0}^{2} para o raio.
Passo 3
Substituir cada ponto na equação \,x^{2}+a x+y^{2}+b y=c e escrever as três equações.
Para (4,-5):
4^{2}+a\cdot4+(-5)^{2}+b\cdot(-5)=c
Portanto
41+4a-5b=c.
Para (-3,5):
(-3)^{2}+a\cdot(-3)+5^{2}+b\cdot5=c
Portanto
34-3a+5b=c.
Para (-2,4):
(-2)^{2}+a\cdot(-2)+4^{2}+b\cdot4=c
Portanto
20-2a+4b=c.
Agora temos o sistema (escrito de forma compacta):
Agora r=\sqrt{968{,}5}. Vou aproximar a raiz quadrada com explicação curta:
Note que 31^{2}=961 e 32^{2}=1024, então r está entre 31 e 32.
Para refinamento, use linearização: se f(x)=x^{2}, então \Delta x \approx \dfrac{\Delta f}{2x}.
Aqui \Delta f=968{,}5-961=7{,}5 e com x\approx31 temos \Delta x\approx\dfrac{7{,}5}{2\cdot31}=\dfrac{7{,}5}{62}\approx0{,}121.
Portanto r\approx31+0{,}121=31{,}121.
Arredondando para uma casa decimal conforme as opções, r\approx31{,}1.
Passo 9
Comparar com as opções fornecidas: a opção (F) é 31{,}1, que é a que corresponde ao valor calculado. Então a resposta é a letra (F).