Questão 1. A posição de uma partícula em movimento retilíneo é dada por
s(t)=5 t-2 t^{2}, \quad t \geq 0, \quad s \text { em metros, } t \text { em segundos. }
(a) Determine a função velocidade v(t).
(b) Determine a função aceleração a(t).
(c) Calcule a velocidade e a aceleração no instante t=3.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula em função do tempo:
s(t)=5t-2t^{2},\qquad t\ge 0,
com s em metros e t em segundos. As perguntas são:
(a) Determine a função velocidade v(t).
(b) Determine a função aceleração a(t).
(c) Calcule a velocidade e a aceleração no instante t=3.

Passo 2

O que significa “velocidade” aqui e como a obtemos (conceito): a velocidade instantânea é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matematicamente isso é a derivada de s(t) em relação a t. A definição da derivada é
v(t)=\lim_{h\to 0}\frac{s(t+h)-s(t)}{h},
que fornece a inclinação da curva s(t) num instante. Na prática de prova usamos regras práticas de derivação (em vez de recalcular o limite toda vez).

Passo 3

Regra prática que vamos usar (explicação): a regra do poder (power rule) diz que, para uma constante c e inteiro n,
\frac{d}{dt}\bigl(c\,t^{n}\bigr)=c\cdot n\,t^{\,n-1}.
Além disso, a derivada de uma soma é a soma das derivadas e a derivada de t é 1. Agora aplicamos isso termo a termo em s(t)=5t-2t^{2}.

Passo 4

Derivando termo a termo:
  • Para \,5t: é da forma c\,t com c=5, então \dfrac{d}{dt}(5t)=5\cdot 1=5.
  • Para -2t^{2}: aplicação da regra do poder com c=-2 e n=2 \dfrac{d}{dt}(-2t^{2})=-2\cdot 2\,t^{1}=-4t.
Somando os resultados obtemos a velocidade:
v(t)=5-4t.
Unidade: \text{metros por segundo} ( \mathrm{m/s}).

Passo 5

O que é aceleração e como obter (conceito): a aceleração instantânea é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja a derivada da velocidade. Também podemos ver como a segunda derivada da posição:
a(t)=v'(t)=s''(t).
Derivando v(t)=5-4t pelo mesmo processo: \dfrac{d}{dt}(5)=0 e \dfrac{d}{dt}(-4t)=-4. Logo
a(t)=-4.
Isto é, a aceleração é constante igual a -4 \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Avaliação no instante t=3 (contas detalhadas):
Calcule v(3):
v(3)=5-4\cdot 3=5-12=-7.
Portanto v(3)=-7 \mathrm{m/s}.
Calcule a(3): como a(t)=-4 constante,
a(3)=-4\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 7

Interpretação física curta e incentivo: v(3)=-7 indica que no instante t=3 a partícula está se movendo no sentido negativo do eixo s com velocidade de 7 \mathrm{m/s}. A aceleração negativa -4\\ \mathrm{m/s^{2}} é constante; como a velocidade também é negativa nesse instante, a aceleração está aumentando a rapidez no sentido negativo (isto é, a partícula está acelerando no sentido negativo). Vai dar tudo certo — repete esses passos na prova: derivada para velocidade, derivada novamente para aceleração, avalia no tempo pedido.

Resposta

(a) v(t)=5-4t \mathrm{m/s}
(b) a(t)=-4 \mathrm{m/s^{2}}
(c) v(3)=-7 \mathrm{m/s}, a(3)=-4 \mathrm{m/s^{2}}

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