Questão 1. A posição de uma partícula em movimento retilíneo é dada por
(a) Determine a função velocidade
.
(b) Determine a função aceleração
.
(c) Calcule a velocidade e a aceleração no instante
.
(b) Determine a função aceleração
(c) Calcule a velocidade e a aceleração no instante
Passo 1
O enunciado dá a posição de uma partícula em função do tempo:
com
em metros e
em segundos. As perguntas são:
(a) Determine a função velocidade .
(b) Determine a função aceleração .
(c) Calcule a velocidade e a aceleração no instante .
(a) Determine a função velocidade
(b) Determine a função aceleração
(c) Calcule a velocidade e a aceleração no instante
Passo 2
O que significa “velocidade” aqui e como a obtemos (conceito): a velocidade instantânea é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matematicamente isso é a derivada de
em relação a
. A definição da derivada é
que fornece a inclinação da curva
num instante. Na prática de prova usamos regras práticas de derivação (em vez de recalcular o limite toda vez).
Passo 3
Regra prática que vamos usar (explicação): a regra do poder (power rule) diz que, para uma constante
e inteiro
,
Além disso, a derivada de uma soma é a soma das derivadas e a derivada de
é
. Agora aplicamos isso termo a termo em
.
Passo 4
Derivando termo a termo:
- Para
: é da forma com , então . - Para
: aplicação da regra do poder com e dá .
Somando os resultados obtemos a velocidade:
Unidade:
(
).
Passo 5
O que é aceleração e como obter (conceito): a aceleração instantânea é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja a derivada da velocidade. Também podemos ver como a segunda derivada da posição:
Derivando
pelo mesmo processo:
e
. Logo
Isto é, a aceleração é constante igual a
.
Passo 6
Avaliação no instante
(contas detalhadas):
Calcule :
Calcule
Portanto
.
Calcule
: como
constante,
Passo 7
Interpretação física curta e incentivo:
indica que no instante
a partícula está se movendo no sentido negativo do eixo
com velocidade de
. A aceleração negativa
é constante; como a velocidade também é negativa nesse instante, a aceleração está aumentando a rapidez no sentido negativo (isto é, a partícula está acelerando no sentido negativo). Vai dar tudo certo — repete esses passos na prova: derivada para velocidade, derivada novamente para aceleração, avalia no tempo pedido.
Resposta
(a)
(b)
(c)
,
(b)
(c)