Avalie integralegral triplaE 2 x d V, onde E é a região sob o plano 2 x+3 y+z=6 que se encontra no primeiro oitavo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver o integral triplo integral triplaE 2x , dV, onde E é a região sob o plano 2x + 3y + z = 6 que está no primeiro oitavo. Isso tá ligado a cálculo multivariável, onde a gente integra funções sobre regiões no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar os limites de integração e escolher uma ordem de integração que facilite nossa vida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região E. O primeiro oitavo é aquele onde todas as coordenadas x, y e z são maiores ou iguais a zero. Então, estamos lidando com x >= 0, y >= 0, e z >= 0. Além disso, a região está abaixo do plano 2x + 3y + z = 6. Isso significa que para cada ponto (x, y), o z vai de 0 até z = 6 - 2x - 3y.

Passo 3

Agora, vamos definir os limites para cada variável. Vamos integrar na ordem z, depois y e por último x.
  1. Para z, já vimos que vai de 0 até 6 - 2x - 3y.
  2. Para y, precisamos olhar para onde z >= 0, ou seja, 6 - 2x - 3y >= 0 Rightarrow 3y <= 6 - 2x Rightarrow y <= 6 - 2x3 = 2 - 2x3. Então, y vai de 0 até 2 - 2x3.
  3. Para x, como tudo é positivo, e quando y=0, a restrição para x fica 2x <= 6 Rightarrow x <= 3. Então, x vai de 0 até 3.

Passo 4

Vamos montar o integral com esses limites:
integral triplaE 2x , dV = integral0^3 integral0^2 - 2x3 integral0^6 - 2x - 3y 2x , dz , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integração começando por z. Como a função 2x não depende de z, a integral em z fica simples:
integral0^6 - 2x - 3y 2x , dz = 2x [ z ]0^6 - 2x - 3y = 2x (6 - 2x - 3y)

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na próxima integral, que é em relação a y:
integral0^2 - 2x3 2x (6 - 2x - 3y) , dy
Vamos distribuir o 2x:
2x integral0^2 - 2x3 (6 - 2x - 3y) , dy = 2x [ 6y - 2x y - 32 y^2 ]0^2 - 2x3
Agora, avaliando nos limites:
2x ( 6(2 - 2x3) - 2x (2 - 2x3) - 32 (2 - 2x3)^2 )
Vamos simplificar isso:
Primeiro, calculemos cada termo separadamente:
  1. 6(2 - 2x3) = 12 - 4x
  2. 2x (2 - 2x3) = 4x - 4x^23
  3. 32 (2 - 2x3)^2 = 32 (4 - 8x3 + 4x^29) = 6 - 4x + 2x^23
Substituindo de volta:
2x ( (12 - 4x) - (4x - 4x^23) - (6 - 4x + 2x^23) )
Simplificando dentro dos parênteses:
12 - 4x - 4x + 4x^23 - 6 + 4x - 2x^23 = 6 - 4x + 2x^23
Agora, multiplicamos por 2x:
2x (6 - 4x + 2x^23) = 12x - 8x^2 + 4x^33

Passo 7

Por último, integramos esse resultado em relação a x de 0 a 3:
integral0^3 (12x - 8x^2 + 4x^33) , dx
Integrando termo a termo:
12 cdot x^22 - 8 cdot x^33 + 43 cdot x^44 = 6x^2 - 8x^33 + x^43
Avaliando de 0 a 3:
6(3)^2 - 8(3)^33 + (3)^43 = 6 cdot 9 - 8 cdot 273 + 813 = 54 - 72 + 27 = 9

Resposta

O valor do integral triplo é 9.

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