Avalie
, onde
é a região sob o plano
que se encontra no primeiro oitavo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver o integral triplo
, onde
é a região sob o plano
que está no primeiro oitavo. Isso tá ligado a cálculo multivariável, onde a gente integra funções sobre regiões no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar os limites de integração e escolher uma ordem de integração que facilite nossa vida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. O primeiro oitavo é aquele onde todas as coordenadas
,
e
são maiores ou iguais a zero. Então, estamos lidando com
,
, e
. Além disso, a região está abaixo do plano
. Isso significa que para cada ponto
, o
vai de 0 até
.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites para cada variável. Vamos integrar na ordem
, depois
e por último
.
- Para
, já vimos que vai de até . - Para
, precisamos olhar para onde , ou seja, . Então, vai de até . - Para
, como tudo é positivo, e quando , a restrição para fica . Então, vai de até .
Passo 4
Vamos montar o integral com esses limites:
Passo 5
Vamos resolver a integração começando por
. Como a função
não depende de
, a integral em
fica simples:
Passo 6
Agora, substituímos esse resultado na próxima integral, que é em relação a
:
Vamos distribuir o
:
Agora, avaliando nos limites:
Vamos simplificar isso:
Primeiro, calculemos cada termo separadamente:
Substituindo de volta:
Simplificando dentro dos parênteses:
Agora, multiplicamos por
:
Passo 7
Por último, integramos esse resultado em relação a
de
a
:
Integrando termo a termo:
Avaliando de
a
:
Resposta
O valor do integral triplo é
.