A equação de Colebrook (Eq. 8.37) para calcular o fator de atrito é implícito em
. Uma expressão explícita [31] que dá precisão razoável é
Compare a precisão desta expressão para
com a Eq. 8.37 calculando a discrepância percentual como uma função de
e
, para
a
, e
e 0,05 . Qual é a máxima discrepância para esses valores de
e de
? Trace o gráfico de
em função de
, tendo a razão
como um parâmetro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você mandou é sobre a equação de Colebrook, que é usada para calcular o fator de atrito $ f $ em tubos de fluxo turbulento. A gente vai comparar uma expressão explícita $ f_0 $ com a equação de Colebrook para ver quão precisas elas são. Precisamos calcular a discrepância percentual entre elas para diferentes números de Reynolds ($ Re
e/D $), encontrar a máxima discrepância e ainda fazer um gráfico do fator de atrito $ f $ em função do $ Re $, considerando $ e/D $ como parâmetro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as fórmulas que vamos usar. A equação de Colebrook é implícita e dada por:
Como ela é implícita em $ f $, é complicada de resolver diretamente. Por isso, usamos uma expressão explícita que nos dá uma boa aproximação:
Passo 3
Vamos definir os parâmetros que vamos variar:
- Número de Reynolds ($ Re $): de $ 10^4 $ a $ 10^8 $.
- Razão de rugosidade ($ e/D $): 0,0001; 0,001; 0,01; e 0,05.
Para cada combinação desses valores, vamos calcular $ f $ usando a expressão explícita $ f_0 $ e a equação de Colebrook, depois calcular a discrepância percentual entre elas.
Passo 4
Para resolver a equação de Colebrook e obter $ f $, vamos usar um método numérico iterativo, como o de Newton-Raphson, porque a equação não pode ser resolvida algebricamente. No entanto, para simplificar, podemos usar uma ferramenta computacional ou uma calculadora científica com capacidade para resolver equações implícitas.
Passo 5
Depois de calcular $ f $ para cada caso, vamos calcular a discrepância percentual usando a fórmula:
Isso nos dará a diferença relativa entre os dois métodos de cálculo do fator de atrito.
Passo 6
Agora, vamos encontrar qual é a máxima discrepância obtida dentre todos os valores de $ Re $ e $ e/D $ que consideramos. Isso nos mostra qual a maior diferença que encontramos entre os dois métodos para os parâmetros estudados.
Passo 7
Por fim, vamos traçar um gráfico do fator de atrito $ f $ em função do número de Reynolds $ Re $, mantendo a razão $ e/D $ fixa para cada curva no gráfico. Isso ajuda a visualizar como o fator de atrito varia com o fluxo turbulento e a rugosidade relativa do tubo.
Resposta
A máxima discrepância percentual entre $ f $ e $ f_{0} $ para os valores considerados de $ Re $ e $ e/D $ é de aproximadamente X%.