O que é um problema de valor de contorno para tal equação?
[Stewart, J., Volume 2, Sétima edição, Revisão 17 (pg 1043)]

Passo 1

O enunciado pede para entendermos e descrevemos o que é um problema de valor de contorno (PVC) aplicado à equação diferencial apresentada, usando conceitos de EDOs de ordem superior e condições de contorno.

Passo 2

Um problema de valor de contorno consiste em buscar uma função y(x) que satisfaça a equação diferencial dada em todo um intervalo [a,b] e, simultaneamente, atenda a condições prescritas em pontos da fronteira desse intervalo.
Diferente do problema de valor inicial (PVI), em que se fixam valores de y e suas derivadas apenas num ponto inicial x=a, no PVC impomos condições em dois (ou mais) pontos distintos, tipicamente y(a)=y_a e y(b)=y_b.

Passo 3

Para uma EDO de segunda ordem, por exemplo
y''+p(x)y'+q(x)y=r(x),
o PVC vem junto com
y(a)=alpha,
y(b)=beta,
e nosso objetivo é achar y(x) que satisfaça tanto a equação quanto as duas condições de contorno.

Passo 4

Em suma, montar um PVC é formular o par: (i) a própria EDO no intervalo [a,b] e (ii) as condições de contorno em x=a e x=b, de modo a determinar uma única solução que cumpra tudo isso.

Resposta

Um problema de valor de contorno para a equação diferencial consiste em encontrar a função y(x) que satisfaça essa equação em um intervalo [a,b] e, ao mesmo tempo, atenda às condições de contorno prescritas em x=a e x=b, por exemplo y(a)=α e y(b)=β.

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