Equação da Continuidade
A água escoa através de um tubo horizontal com diâmetro D1=10 cm e velocidade v1=2 m / s. O tubo se estreita para um diâmetro D2=5 cm. Qual a velocidade da água na seção estreitada? Qual a vazão volumétrica de água do sistema? Qual a vazão mássica de água do sistema? (Considere a densidade da água 1000 kg / m^3 ).

Passo 1

Então, o problema diz que água (que a gente trata como incompressível) passa por um cano horizontal com diâmetro D₁=10 cm e velocidade v₁=2 m/s, aí o cano afina pra D₂=5 cm. A gente precisa descobrir:
  1. A nova velocidade v₂ na parte estreita,
  2. A vazão volumétrica Q do sistema,
  3. A vazão mássica ṁ do sistema (sabendo que ρ da água é 1000 kg/m³).
Conteúdo que vamos usar:
  • Equação da Continuidade para fluidos incompressíveis: A₁·v₁ = A₂·v₂
  • Cálculo de área de seção circular: A = π·D²/4
  • Definição de vazão volumétrica: Q = A·v
  • Definição de vazão mássica: ṁ = ρ·Q

Passo 2

Primeiro, a gente usa a Equação da Continuidade. Como a água não comprime, o volume que entra por segundo é igual ao que sai por segundo:
A1,v1 ;=; A2,v2
onde
A1 = pi D1^24, A2 = pi D2^24
Calculando as áreas (convertendo cm para m):
D₁ = 0,10 m ⇒
A1 = pi,(0,10)^24 = picdot0,014 = 0,0025,pi ;m^2
D₂ = 0,05 m ⇒
A2 = pi,(0,05)^24 = picdot0,00254 = 0,000625,pi ;m^2
Agora, da continuidade:
v2 = A1A2,v1 = 0,0025,pi0,000625,pitimes 2 = 4times 2 = 8;m/s

Passo 3

Agora calcula a vazão volumétrica Q. Basta usar Q = A₁·v₁ (ou A₂·v₂, dá na mesma):
Q = A1,v1 = 0,0025,pi times 2 = 0,005,pi;m^3/s approx 0,0157;m^3/s

Passo 4

Por fim, a vazão mássica ṁ = ρ·Q, com ρ = 1000 kg/m³:
dotm = 1000 times l(0,005,pir) = 5,pi;kg/s approx 15,7;kg/s

Resposta

v₂ = 8 m/s
Q = 0,005 π m³/s (≈ 0,0157 m³/s)
ṁ = 5 π kg/s (≈ 15,7 kg/s)

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