2. Equação do Momento Angular ( theta ):

(a) Simplifique a equação do momento linear na direção theta, eliminando todos os termos nulos.
(b) Justifique por que se espera que partial p / partial theta=0 neste problema.
(c) Explique por que não se pode desprezar o termo partial^2 vtheta / partial z^2.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a equação do momento linear (Navier–Stokes) na direção theta em coordenadas cilíndricas, eliminando todos os termos nulos. Em seguida, precisamos justificar por que partial p/partialtheta=0 e explicar por que não podemos desprezar o termo partial^2vtheta/partial z^2. Vamos usar as hipóteses de fluxo estacionário, axisimétrico e sem velocidades radiais ou axiais convectivas na direção theta.

Passo 2

Escrevemos primeiro a forma completa da equação de momento na direção theta:
rhol(partial vthetapartial t +vrpartial vthetapartial r +vthetarpartial vthetapartial theta +vzpartial vthetapartial z +vr,vthetarr) =-1rpartial ppartial theta +mul[ 1rpartialpartial rl(rpartial vthetapartial rr) +1r^2partial^2vthetapartial theta^2 -vthetar^2 +partial^2vthetapartial z^2 r]
Aplicamos as hipóteses do problema:
  1. Fluxo estacionário implies partial vtheta/partial t=0.
  2. Axisimétrico implies partial/partial theta=0.
  3. Sem velocidade radial e sem velocidade axial convectiva na direção theta (fluxo puramente tangencial) implies vr=0, vz=0.
  4. Não há gradiente de pressão em theta a priori (será justificado no próximo passo).
  5. Sem forças de corpo na direção theta.
Eliminando todos os termos com vr, vz, partial/partial t e partial/partialtheta, e tomando partial p/partialtheta=0, sobra
0 = mul[ 1rpartialpartial rl(rpartial vthetapartial rr) -vthetar^2 +partial^2vthetapartial z^2 r]

Passo 3

partial ppartial theta=0 porque o problema é axisimétrico: a geometria e as condições de contorno não mudam quando giramos em torno do eixo z. Logo, nenhuma variação angular de pressão pode ocorrer.

Passo 4

O termo partial^2vthetapartial z^2 representa a difusão viscosa na direção axial. Mesmo que não haja velocidade axial média, a componente tangencial vtheta pode variar ao longo de z (por exemplo, decair ou desenvolver-se). Negligenciar esse termo é assumir que não há variação axial de vtheta, o que contraria a realidade de muitos escoamentos em que o perfil de velocidade tangencial muda com a distância ao longo do eixo.

Resposta

(a)
0 = mul[ 1rpartialpartial rl(rpartial vthetapartial rr) -vthetar^2 +partial^2vthetapartial z^2 r]
(b) partial p/partial theta=0 devido à axisimetria do problema.
(c) O termo partial^2vtheta/partial z^2 não pode ser desprezado porque vtheta varia ao longo do eixo z e essa variação axial gera difusão viscosa significativa.

Exercícios relacionados