Em cada um dos itens abaixo, verifique se a EDO dada é exata; em caso afirmativo, resolva a EDO.
(3 y^2-x^2y^5) d y+x2 y^4 d x=0

Passo 1

O enunciado pede que a equação diferencial
l(3y^2-x^2y^5r),dy + x2y^4,dx = 0
seja verificada quanto à exatidão e, em caso afirmativo, seja resolvida.
Conteúdo: EDO exata e função potencial.

Passo 2

Reescrevendo na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0, temos
M(x,y)=x2y^4, N(x,y)=3y^2-x^2y^5
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =partialpartial yl(x2y^4r) =-2x,y^-5,
partial Npartial x =partialpartial xl(3y^2-x^2y^5r) =-2x,y^-5
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a EDO é exata.

Passo 3

Por exatidão existe psi(x,y) tal que
partial psipartial x=M(x,y)=x2y^4
Integramos em x:
psi(x,y)=integral x2y^4,dx =x^24y^4+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Impondo partial psi/partial y = N(x,y), calculamos
partial psipartial y =partialpartial yl(x^24y^4+h(y)r) =-x^2y^5+h'(y)
e igualamos a
N(x,y)=3y^2-x^2y^5 =-x^2y^5+3y^3
Segue h'(y)=3y^-3, logo
h(y)=3integral y^-3,dy=-32y^2

Passo 5

Assim a função potencial é
psi(x,y) =x^24y^4 -32y^2
A solução geral implícita vem de psi(x,y)=C. Multiplicando por 4y^4 para simplificar, obtemos
x^2-6y^2=C',
com C'=4C constante arbitrária.

Resposta

x^2-6y^2=C

Exercícios relacionados