A equação de demanda de um produto é p=1.000-x e seu custo mensal é C(x)=20 x+4.000. a) Qual preço deve ser cobrado para maximizar o lucro?

Passo 1

O enunciado diz que a demanda é dada por p = 1000 - x e o custo mensal é C(x) = 20x + 4000. O objetivo é encontrar o preço p que maximiza o lucro. Para isso, vamos precisar montar a função lucro como receita menos custo e usar derivadas para achar o ponto de máximo.

Passo 2

A receita mensal é o preço vezes a quantidade vendida, ou seja,
R(x) = p(x) cdot x = (1000 - x)x = 1000x - x^2
Portanto, a função lucro pi(x) é:
pi(x) = R(x) - C(x) = (1000x - x^2) - (20x + 4000) = -x^2 + 980x - 4000

Passo 3

Para encontrar o máximo da função lucro, calculamos a derivada e igualamos a zero:
pi'(x) = ddx(-x^2 + 980x - 4000) = -2x + 980
Igualando a derivada a zero, temos:
-2x + 980 = 0 Longrightarrow x = 490
Como a segunda derivada pi''(x) = -2 < 0, esse ponto corresponde a um máximo.

Passo 4

Agora que sabemos que a quantidade que maximiza o lucro é x = 490, basta calcular o preço usando a função demanda:
p = 1000 - x = 1000 - 490 = 510

Resposta

O preço que maximiza o lucro é R$ 510.

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