Uma equação de diferenças consiste numa equação que envolve uma função
e os valores da função em diferentes argumentos como
onde a é uma constante. Por exemplo,
são alguns exemplos de equações de diferenças. Um caso particular, consiste em relações de recorrências, como por exemplo:
com
. O problema aqui é encontrar uma fórmula geral para
em função de
. Fazendo
para
, obtemos uma equação de diferenças:
e podemos usar a Transformada de Laplace para resolver tais equações. Faça isso para as seguintes equações:
4.
4.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações de recorrência! A gente tem duas sequências definidas por relações de recorrência e condições iniciais. O conteúdo está relacionado a equações de diferenças e Transformada de Laplace para resolver essas equações. Vamos precisar entender como montar a equação característica e encontrar a solução geral e particular.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na primeira equação:
com as condições iniciais $ a_0 = 0 $ e $ a_1 = -1 $.
Passo 3
Para resolver essa recorrência, vamos dividir em duas partes: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
A equação homogênea associada é:
Passo 4
Agora, encontramos a equação característica dessa equação homogênea. Fazemos isso substituindo $ a_n = r^n $:
Portanto, a equação característica é:
Passo 5
Resolvemos a equação característica:
Passo 6
Com as raízes $ r_1 = 3 $ e $ r_2 = 4 $, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é $ 2^n $, tentamos uma solução particular da forma $ a_n^{§} = A \cdot 2^n $.
Passo 8
Substituímos $ a_n^{§} = A \cdot 2^n $ na equação:
Dividindo ambos os lados por $ 2^n $:
Então, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 10
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Para $ n = 0 $:
Para $ n = 1 $:
Passo 11
Resolvemos o sistema de equações:
Da Equação 1:
Substituímos na Equação 2:
Então, $ C_2 = -\frac{1}{2} $.
Substituindo na Equação 1:
Passo 12
Finalmente, substituímos $ C_1 $ e $ C_2 $ na solução geral:
Podemos simplificar $ \frac{1}{2} \cdot 4^n = 2^{2n -1} $, mas vamos deixar assim.
Resposta
A fórmula geral para $ a_n $ é: