Uma equação de diferenças consiste numa equação que envolve uma função y(t) e os valores da função em diferentes argumentos como y(t+a) onde a é uma constante. Por exemplo,
y(t)-3 y(t+1)+2 y(t-1)=e^t y(t) y(t+3)=sen(t)
são alguns exemplos de equações de diferenças. Um caso particular, consiste em relações de recorrências, como por exemplo: an+2-3 an+1+2 an=0 com a0=0, a1=1. O problema aqui é encontrar uma fórmula geral para an em função de n. Fazendo y(t)=an para n <= t, obtemos uma equação de diferenças: y(t+2)-3 y(t+1)+2 y(t)=0 e podemos usar a Transformada de Laplace para resolver tais equações. Faça isso para as seguintes equações:
4.
an+2-7 an+1+12 an=2^n a0=0, a1=-1 an+2-2 an+1+an=0 a0=0, a1=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações de recorrência! A gente tem duas sequências definidas por relações de recorrência e condições iniciais. O conteúdo está relacionado a equações de diferenças e Transformada de Laplace para resolver essas equações. Vamos precisar entender como montar a equação característica e encontrar a solução geral e particular.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira equação:
an+2 - 7an+1 + 12an = 2^n
com as condições iniciais $ a_0 = 0 $ e $ a_1 = -1 $.

Passo 3

Para resolver essa recorrência, vamos dividir em duas partes: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
A equação homogênea associada é:
an+2 - 7an+1 + 12an = 0

Passo 4

Agora, encontramos a equação característica dessa equação homogênea. Fazemos isso substituindo $ a_n = r^n $:
an = r^n
Portanto, a equação característica é:
r^n+2 - 7r^n+1 + 12r^n = 0 r^n (r^2 - 7r + 12) = 0

Passo 5

Resolvemos a equação característica:
r^2 - 7r + 12 = 0 (r - 3)(r - 4) = 0 r = 3 ou r = 4

Passo 6

Com as raízes $ r_1 = 3 $ e $ r_2 = 4 $, a solução geral da equação homogênea é:
r1 = 3

Passo 7

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
an+2 - 7an+1 + 12an = 2^n
Como o lado direito é $ 2^n $, tentamos uma solução particular da forma $ a_n^{§} = A \cdot 2^n $.

Passo 8

Substituímos $ a_n^{§} = A \cdot 2^n $ na equação:
an^(p) = A cdot 2^n
Dividindo ambos os lados por $ 2^n $:
A cdot 2^n+2 - 7A cdot 2^n+1 + 12A cdot 2^n = 2^n 4A cdot 2^n - 14A cdot 2^n + 12A cdot 2^n = 2^n (4A - 14A + 12A) cdot 2^n = 2^n 2A cdot 2^n = 2^n
Então, a solução particular é:
2^n

Passo 9

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
an = an^(h) + an^(p) = C1 cdot 3^n + C2 cdot 4^n + 2^n-1

Passo 10

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Para $ n = 0 $:
C1 çã
Para $ n = 1 $:
C2 çã

Passo 11

Resolvemos o sistema de equações:
Da Equação 1:
C1 = -12 - C2
Substituímos na Equação 2:
3 ( -12 - C2 ) + 4C2 = -2 -32 - 3C2 + 4C2 = -2 -32 + C2 = -2 C2 = -2 + 32 = -12
Então, $ C_2 = -\frac{1}{2} $.
Substituindo na Equação 1:
C2 = -12

Passo 12

Finalmente, substituímos $ C_1 $ e $ C_2 $ na solução geral:
C1
Podemos simplificar $ \frac{1}{2} \cdot 4^n = 2^{2n -1} $, mas vamos deixar assim.

Resposta

A fórmula geral para $ a_n $ é:
an

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