Encontre a solução dos seguintes PVI l y^prime prime+4 y=4 u5(t) y(0)=0 y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) que é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem. A equação que temos é:
y'' + 4y = 4,u5(t) y(0) = 0 y'(0) = 1
Aqui, u5(t) é a função degrau unitário deslocada, que vale 0 quando t < 5 e 1 quando t >= 5. Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que facilita a resolução de EDOs com condições iniciais e funções de entrada como o degrau.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
  • Ly'' = s^2Y(s) - s y(0) - y'(0)
  • Ly = Y(s)
  • Lua(t) = e^-a ss
Aplicando isso, temos:
Ly'' + 4y = L4,u5(t)
Que se transforma em:
s^2Y(s) - s cdot 0 - 1 + 4Y(s) = 4 e^-5 ss
Simplificando:
(s^2 + 4)Y(s) - 1 = 4 e^-5 ss

Passo 3

Agora, isolamos Y(s):
Y(s) = 1s^2 + 4 + 4 e^-5 ss(s^2 + 4)
Vamos separar essas duas partes para facilitar a inversão da Transformada de Laplace.

Passo 4

Primeiro, encontramos a Transformada Inversa de 1s^2 + 4:
Sabemos que:
L^-11s^2 + a^2 = sin(a t)a
Aqui, a = 2, então:
L^-11s^2 + 4 = sin(2 t)2

Passo 5

Agora, vamos tratar a segunda parte: 4 e^-5 ss(s^2 + 4).
Usamos a propriedade da transformada para o deslocamento no tempo:
L^-1e^-a s F(s) = ua(t) f(t - a)
Onde F(s) = 4s(s^2 + 4) e a = 5.
Primeiro, encontraremos a Transformada Inversa de F(s):
F(s) = 4s(s^2 + 4) = As + B s + Cs^2 + 4
Resolvendo os coeficientes, encontramos:
F(s) = 1s - ss^2 + 4
Então,
L^-14 e^-5 ss(s^2 + 4) = 4,u5(t) (1 - cos(2(t - 5)))

Resposta

Juntando tudo, a solução da equação diferencial é:
y(t) = sin(2 t)2 + 4,u5(t) (1 - cos(2(t - 5)))

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